R 第三节课

期中考试 9.27

生日概率
> pBirthday <- function(k)
+ 1 - exp(lfactorial(365)-lfactorial(365-k)-k*log(365))
> pBirthday(50)

The capture and recapture problem
極大似然估計
> Pn <-function(n) {
+ tmp <- choose (50,3)*choose(n-50,47)
+ tmp/choose(n,50)
+}
> plot(n, Pn(n),type='l')

Combinatorics

• Permutation

• Binomial identity #$\Sigma$(n,k)＝2ⁿ

• n個球放入n個盒子，剛好有一個盒子是空的概率==$\frac{n(n-1)}{(2n-1,n) }$==

  >prob <- function(n){n*(n-1)/choose(2*n-1,n)}
  >prob(10)
  

Conditional Probability

• P(A|B) 給定事件B發生的情況下，A發生的概率

  Q：家裡倆孩子，至少一個是男孩。那麼兩個都是男孩的概率？

  A：P(X=2|X$\ge$1)=$\frac{1/4}{1-1/4}$

Bayes' theorem

P(A₁|B)=$\frac{P(A₁B)}{P(B)}$=$\frac{p(P(B|A₁)P(A₁))}{P(B|A₁)P(A₁)+P(B|A₂)P(A₂)}$

• The law of total probability

  对于独立事件A₁和A₂使得S=A₁$\cup$A₂，P(B)=P(B|A₁)P(A₁)+P(B|A₂)P(A₂)

• 先验分析 因果关系

  Q：五个人轮流拿球，四白一红。第二个人拿到红球的概率？

  A：P(B1)P(A2|B1)=4/5*1/4=1/5

  无后效性

• Q：邮件分为三类，A1，A2，A3，互相排斥。B＝邮件包含“free”

  P(A1)=0.7 P(A2)=0.2 P(A3)=0.1

  P(B|A₁)=0.9 P(B|A₂)= 0.1 P(B|A₃)= 0.1

  那么含有“free”的A1邮件可能性多大？

  A：by Bayes，0.955

• Example 2.13 误诊