在统计学中，普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。 OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。
一元线性回归求解过程
我们先以一元线性模型为例来说明。
假设有一组数据，我们希望求出对应的一元线性模型来拟合这一组数据：
既然要拟合，总要有一个拟合程度高低的判断标准，上文说到，最小二乘法中使用的就是误差平方和方法，所以，这时候损失函数，或者说我们的目标函数就是：
有了这个目标函数，我们要做的就是求出和
使得
最小，在这里就是极小值。
求极值的一个很好的方法就是求导，在这里因为有多个参数，所以，我们要分别对和
求偏导：
因为,
, 所以，上面第二个，也就是对
的偏导可以转化为：
我们知道，目标函数取得极值时，偏导一定是等于0的，所以，我们令等于0，于是有：
接着，我们继续回到上面第一个偏导，也就是对的偏导
，令
，并将
代入，得：
根据求和性质可得：
求和性质：
求和性质，具体可以参考Introductory Econometrics A Modern Approach (Fourth Edition) 一书（计量经济学导论，第4版，杰弗里·M·伍德里奇 著）的附录A。
分子得证
分母得证
有了上述推导证明，普通最小二乘法一般形式可以写成（字母盖小帽表示估计值，具体参考应用概率统计）：
的普通最小二乘解为：
多元线性回归求解过程
对于多元的情况，需要使用矩阵运算来求解，先用矩阵表示：
其中，
目标函数：
如果要使上述目标函数最小，显然其结果为0，即：
也就是说：
最终获得解：
可以看出，对于一般的最小二乘法多元求解，使用矩阵运算即可，都不需要迭代 。
此处不做证明，具体可参考《应用概率统计》 张国权著 第九章 回归分析
最小二乘法 VS 梯度下降法
通过上面推导可知，最小二乘法可以矩阵运算求解，这种方法十分方便快捷，但这种方法不是万能的，因为线性最小二乘的解是closed-form即 ，而非线性最小二乘没有closed-form（即
没有可逆矩阵），这时候矩阵运算求解就行不通，这时候就可以通过迭代法（梯度下降法）求最优解。
来具体说说这两种方法的区别：
| 最小二乘法 | 梯度下降法 |
|---|---|
| 不需要设置学习率 | 需要设置学习率 |
| 一次运算得出最优解 | 需要多次迭代求解最优解 |
| 矩阵求逆得复杂度时 |
维度较大时也适用 |
| 只适用于线性模型 | 适用性高，各种模型都可以使用 |
迭代法，即在每一步update未知量逐渐逼近解，可以用于各种各样的问题（包括最小二乘），比如求的不是误差的最小平方和而是最小立方和。
梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题（线性和非线性都可以）。高斯-牛顿法是另一种经常用于求解非线性最小二乘的迭代法（一定程度上可视为标准非线性最小二乘求解方法）。
还有一种叫做Levenberg-Marquardt的迭代法用于求解非线性最小二乘问题，就结合了梯度下降和高斯-牛顿法。
所以如果把最小二乘看做是优化问题的话，那么梯度下降是求解方法的一种，是求解线性最小二乘的一种，高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt则能用于求解非线性最小二乘。
莱文贝格－马夸特方法（Levenberg–Marquardt algorithm）能提供数非线性最小化（局部最小）的数值解。此算法能借由执行时修改参数达到结合高斯-牛顿算法以及梯度下降法的优点，并对两者之不足作改善（比如高斯-牛顿算法之反矩阵不存在或是初始值离局部极小值太远）
然后Levenberg-Marquardt方法的好处就是在于可以调节:
如果下降太快，使用较小的λ，使之更接近高斯牛顿法
如果下降太慢，使用较大的λ，使之更接近梯度下降法
欢迎关注微信公众号
网友评论