2020-10-26

【暑假研题】2020包头中考第24题圆综合

原题呈现

图文解析

基于确定性分析，由题意知圆O确定，A、C为定点，由CE=√34可知只需以C为圆心，√34为半径作圆，与直线l的交点即为点E，故AE可求。CE为斜线段，故可过点C作CH⊥AE，易证四边形AOCH为正方形，故CH=AH=OC=3，再由勾股定理可求HE=5,

则AE=EH-AH=2.

由（1）可通过“A型”相似，求得AD=6/5,再由5BF=5AD=4,可求BF=2,故F为定点，连接CF延长交圆O与G，可知点G为定点，故整个图形是确定的。那么如何求解呢？

思路一：圆周角转化+斜A型相似

延长CO交圆O与P，连接GP.

由同弧所对圆周角相等有∠GAC=∠GPC,易证∠GPC=∠OFC,在Rt△OFC中，OF=1,OC=3,勾股求FC=√34，再借助于△OFC∽△GPC，可求CG长，问题得解。

思路二：圆周角+三角形外角+相交弦

连接CB.

由同弧所对圆周角相等有∠GAF=∠GCB,易证∠CAB=∠CBA,由三角形外角的性质可知：∠OFC=∠CBA+∠GCB，而

∠GAC=∠CAB+∠GAB，则∠OFC=∠GAC，

易证△FBC∽△FGA，可求出GF长，进而GC长可求，问题得解。

思路三：三角形外角+子母相似

根据同弧所对圆心角等于该弧所对圆心角的一半可知∠AGC=1/2∠AOC=45°，易求∠BAC=45°，则∠AGC=∠BAC，再由三角形外角性质可证得∠OFC=∠GAC，借助△AFC∽△GAC，可求得GC长，于是问题得解。

解题感悟

本道题是以圆为背景的几何综合题，涉及知识点多，综合性强，解法灵活多样，考查了圆周角定理及推论，三角形外角性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质。三角函数等初中核心知识点，解决问题的关键是灵活转化圆周角至直角三角形中，进而求出其三角函数值，求线段长常用方法有：①勾股定理，②相似三角形，③三角函数，④等面积法等，本题求GC长主要依托相似三角形，解题后惊奇发现三种不同转化角的方法，分别对应着三种不同的相似模型，思路一出现了一对斜A型相似；思路二连BC有一对斜X型相似；思路三不添加辅助线可证得一对子母型相似。