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第28课 正定矩阵和最小值

第28课 正定矩阵和最小值

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-11-07 23:23 被阅读0次

    第一目标,如何判断一个矩阵是否是正定的


    x^TAx>0得出几何上的解释,椭圆和正定性有关,双曲线与正定性无关,当极小存在时,怎样找出极小值?

    A是对称矩阵A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}

    • \lambda_1>0,\lambda_2>0;(特征值判定)
    • a>0,ac-b^2>0;(行列式判定,所有行列式)
    • a>0,\frac{ac-b^2}{a}>0;(主元,所有主元)
    • x^TAx>0

    例:
    \begin{bmatrix}2&6\\6&b\end{bmatrix}
    b=19时,为正定的

    b=18时,为不完全正定,称之为半正定矩阵,\lambda_1=0,\lambda_2=20,由于存在等于0,所以定义为半正定
    \begin{align} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix}}_{x^T} \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\6&18\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}_{x}&= \begin{bmatrix}x_1&x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x_1+6x_2\\6x_1+18x_2\end{bmatrix}\\ &=x_1\times(2x_1+6x_2)+x_2\times(6x_1+18x_2)\\ &=2x_1^2+6x_1x_2+6x_1x_2+18x_2^2\\ &= \underbrace{2}_{a}x_1^2+ \underbrace{2\times6}_{2b}x_1x_2+ \underbrace{18}_{c}x_2^2 \end{align}\\ \to ax^2+2bxy+cy^2(二次形,不再是线性的)

    Ax是线性的,引入x^T,升到二阶,纯二次形没有线性部分,它是否大于0?
    f(x,y) = x^TAx=ax^2+2bxy+cy^2

    \begin{bmatrix}2&6\\6&7\end{bmatrix}\\ \begin{align} f(x_1,x_2)&=2x_1^2+12x_1x_2+7x_2^2\\ &=2(x_1+3x_2)^2-11x_2^2 \end{align}\\ ax^2\geq 0;cy^2\geq0;ax^2+cy^2要足够大于2bxy

    \begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}\\ \begin{align} f(x,y)&=2x^2+12xy+20y^2\\ &=\underbrace{2(x+3y)^2}_{\geq 0}+\underbrace{2y^2}_{\geq 0} \end{align}\\

    一阶导的最小为0,不足以说明是极小值二阶导控制一切,矩阵告诉我们的是二阶导数。在微积分中判断极小值的首要条件是导数必需等于0,此时并不能知道是极大值还是极小值,为了确定是极小值还得看来看二阶导数二阶导数必须为,当通过最小点后,斜率必须是变大的,二阶导数这里变成二阶导数矩阵的正定性,如此来判断极小值

    在微积分开始部分,极小值与二阶导数为正相关联,一阶导数为0。

    在线性代数中f(x_1,x_2,\dots,x_n)存在极小值的条件是当二阶导数矩阵是正定的,(从一个数二阶导数变成矩阵为正定矩阵)。

    如果矩阵为正定时,图形结果的上部为椭圆截面,令f(x_1,x_2)=1,高度为1的横切面,如果在鞍点情况下切割,就得到一个双曲线
    \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\6&20\end{bmatrix}}_{A}= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix}2&6\\0&2\end{bmatrix}}_{U}\\ f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2 = \underbrace{\overbrace{2}^{U第一个主元}(x+3y)^2+\overbrace{2}^{U的第二个主元}y^2}_{配方式子}
    正主元,就是平方项外边的系数,因此正主元平方和一切为正图像向上原点极小点,一切都联系在一起

    为了存在极小值\underbrace{f_{xx}}_{f在x方向上的二阶导数},\underbrace{f_{yy}}_{f在y方向上的二阶导数},必须为正,还须足够大来抵消混合导数的影响
    A=\begin{bmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{bmatrix},A必须是正定矩阵\\ 行列式条件(f_{xx}f_{yy}>f_{xy}f_{yx})

    3\times3

    首先是否为正定矩阵,

    其次和它相关联的函数是多少?

    x^TAx是多少?
    A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}

    首先求行列式:
    A_{1\times1}=2,|A_{2\times2}|=3|A_{3\times3}|=4\\ x^TAx=\\A_{11}x_1^2 + A_{22}x_2^2 + A_{33}x_3^2 + A_{12}x_1x_2 + A_{21}x_1x_2 + A_{23}x_2x_3 + A_{32}x_2x_3 + A_{13}x_1x_3 + A_{31}x_1x_3 \\ =2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3 >0
    特征向量说明主轴方向;

    特征值说明轴的长度或半长或特征值例数

    Q\Lambda Q^T特征值理论中最重要的分解,由于对称阵的对角化可用转置代替逆

    条件:

    • 各级行列式为2,3,4

    • 主元2,3/2,4/3

    • 主元的乘积等于相应的行列式(二级行列式等于2\times \frac{3}{2}=3,三级行列式等于2\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}=4)

    • 当前行列式等于前级主元的乘积

    • 特征值2-\sqrt{2},2,2+\sqrt{2}

      • 用迹检查3个特征值是否正确,迹=2+2+2=62-\sqrt{2}+2+2+\sqrt{2}=6
      • 用行列式检查(2-\sqrt{2})\times2\times(2+\sqrt{2})=4

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