第一目标,如何判断一个矩阵是否是正定的
得出几何上的解释,椭圆和正定性有关,双曲线与正定性无关,当极小存在时,怎样找出极小值?
是对称矩阵
- ;(特征值判定)
- ;(行列式判定,所有行列式)
- ;(主元,所有主元)
例:
当时,为正定的当时,为不完全正定,称之为半正定矩阵,,由于存在等于0,所以定义为半正定
是线性的,引入,升到二阶,纯二次形没有线性部分,它是否大于0?
一阶导的最小为0,不足以说明是极小值;二阶导控制一切,矩阵告诉我们的是二阶导数。在微积分中判断极小值的首要条件是导数必需等于0,此时并不能知道是极大值还是极小值,为了确定是极小值还得看来看二阶导数,二阶导数必须为正,当通过最小点后,斜率必须是变大的,二阶导数为正这里变成二阶导数矩阵的正定性,如此来判断极小值。
在微积分开始部分,极小值与二阶导数为正相关联,一阶导数为0。
在线性代数中存在极小值的条件是当二阶导数矩阵是正定的,(从一个数二阶导数变成矩阵为正定矩阵)。
如果矩阵为正定时,图形结果的上部为椭圆截面,令,高度为的横切面,如果在鞍点情况下切割,就得到一个双曲线
正主元,就是平方项外边的系数,因此正主元,平方和一切为正,图像向上,原点是极小点,一切都联系在一起
为了存在极小值,必须为正,还须足够大来抵消混合导数的影响
例
首先是否为正定矩阵,
其次和它相关联的函数是多少?
是多少?
首先求行列式:
特征向量说明主轴方向;特征值说明轴的长度或半长或特征值例数
特征值理论中最重要的分解,由于对称阵的对角化可用转置代替逆
条件:
-
各级行列式为2,3,4
-
主元2,3/2,4/3
-
主元的乘积等于相应的行列式(二级行列式等于,三级行列式等于)
-
当前行列式等于前级主元的乘积
-
特征值
- 用迹检查3个特征值是否正确,,
- 用行列式检查
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