三角形的外角定理

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先看一下外角的定义：多边形的外角就是将其中一条边延长并与另一条边相夹的那个角。

例如图中的∠1、∠2、∠3都是三角形ABC的外角。可知∠1+∠A=180°。这两个角叫做邻补角(两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线)，这也是一个重要的等量关系。

三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。例如∠1=∠B+∠C；∠2=∠A+∠C；∠3=∠A+∠B。

利用邻补角的定义和三角形内角和是180°，容易证明这个定理。

下面用几道例题介绍一下三角形外角定理的一些基本应用，主要是利用外角与不相邻的两个内角的等量关系进行角的转化。

(一)利用外角来传递等量关系

例题1：证明∠A+∠B=∠C+∠D

这是初中几何里最基础的一个模型之一。由于∠1是ΔBEA与ΔDEC的外角，我们利用三角形外角定理：∠1=∠A+∠B，∠1=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D

当然也可以利用∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，然后根据三角形内角和是180°来证明。

(二)把分散的角集中到三角形中

例题2：下面是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

这几个角比较分散，我们标记出∠1与∠2，可知∠1是ΔCFE的外角，所以根据三角形外角定理∠1=∠C+∠E；同理∠2是ΔDGB的外角，所以∠2=∠B+∠D。所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠A=180°

(三)分割多边形，做出外角

例题3：下图是一个凹四边形ABCD，把∠BCD记做∠1。证明∠1=∠A+∠B+∠D。

一个不规则的凹四边形，我们可以通过辅助线把它分割成三角形。延长BC交AD与点E，那么根据三角形外角定理∠1=∠BED+∠D；∠BED=∠A+∠B。

所以∠1=∠A+∠B+∠D。

也可以利用四边形ABCD的内角和是360°来证明。∠1+∠BCD(优角)=360°；∠A+∠B+∠D+∠BCD(优角)=360°；所以∠1=∠A+∠B+∠D。

例题4：如图，把∠AOB沿着线段MN折叠过去形成新的∠MPN，证明∠1+∠2 = 2∠P。

在讲角的折叠时证明过这个结果(角的折叠问题)，现在我们可以利用外角来证明它，连接PO，易知∠1=2∠MOP，∠2=2∠NOP，所以∠1+∠2==2∠MOP+2∠NOP=2∠P

出现三角形的外角，就可以自然的想到三角形的外角定理，利用它的等量关系进行角的转化是解决问题的关键。多边形可以通过辅助线分割成三角形，使外角出现。