概率

作者: 敬标 | 来源:发表于2018-12-17 13:36 被阅读0次

条件概率
【数学 | 概率】概率
联合概率、边缘概率、条件概率
概率与概率分布
概率与概率分布
概率与概率分布
概率和概率分布
概率统计2：概率
小概率也是概率
其实，很多时候我们会自以为是

1数学期望

定义:
设离散型随机变量X的分布律为：
$P\{X = x_k\}=p_k,k=1,2...$
若级数
$\sum\limits_{k=1}^nx_kp_k$ 绝对收敛，则称级数 $\sum\limits_{k=1}^nx_kp_k$ 的和为随机变量X的数学期望，记为 $E(x)$ ,即
$E(x) = \sum\limits_{k=1}^nx_kp_k$
设连续型随机变量X的概率密度函数为 $f(x)$ ,若积分
$\int_a^bxf(x)dx$ 绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为 $E(x)$ ，即 $E(x)=\int_a^bxf(x)dx$
数学期望简称期望，又称均值
性质：
1.设 $C$ 是常数，则有 $E(C) = C$
2.设 $X$ 是一个随机变量，C是常数则有 $E(CX) = CE(X)$
3.设 $X$ , $Y$ 是两个随机变量，则有 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
4.设 $X$ , $Y$ 是相互独立的随机变量，则有: $E(XY)=E(X)E(Y)$

2方差

定义：
设X是一个随机变量，若 $E\{[X-E(X)]^2\}$ 存在，则称 $E\{[X-E(X)]^2\}$ 为X的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$ ,即 $D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\}$
对于离散型随机变量：
$D(X)=\sum\limits_{k=1}^n[x_k-E(X)]^2f(X)p_x$
对于连续型随机变量：
$D(X)=\int_a^b[x_k-E(X)]^2f(X)dx$
随机变量X的方差可用下列公式计算：
$D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2$
性质
1.设 $C$ 是常数，则有 $D(C) = 0$
2.设 $X$ 是一个随机变量， $C$ 是常数则有 $D(CX) = C^2D(X)\\D(X+C)=D(X)$
3.设 $X$ , $Y$ 是两个随机变量，则有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}\\$ 若X,Y相互独立，则有 $\\D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
4. $D(X)=0$ 的充要条件是X以概率1取常数E(X),即 $\\P\{X=E(X)\} = 1$

3.协方差

描述X与Y之间的相互关系的数字特征
如果两个随机变量X和Y是相互独立的，则：
$E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} = 0$ .
当 $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} != 0$ .时，X与Y不相互独立，而是存在着一定的关系的
定义： $E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$ 称为X与Y的协方差，记为 $Cov(X,Y)$ ,即：
$Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$
而：
$ρ_{xy} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(X)}}$ 称为随机变量X与Y的相关系数

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\},Cov(X,X)=D(X)$
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
性质
1 $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数$
2 $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
定理
1 $|ρ_{xy}| \le1$
2 $|ρ_{xy}|=1$ 的充要条件是，存在常数a,b使 $P\{Y=a=bX\}=1$