机器学习的数学基础--微积分（3）--直线方程

直线的倾斜度和斜率

在直角坐标系内，一条直线的倾斜度可以用一个数--斜率来量度。例如下图，直线L通过点P₁(x₁,y₁)和P₂(x₂,y₂)则该直线的斜率为：

可以在同一条直线上选择不同的两个点求斜率，但斜率不会有变化。

斜率的正负号

斜率为正时，当x增大时，y随之增大，直线呈递增趋势(见下图a)。
斜率为负时，当x增大时，y随之减小，直线呈递减趋势(见下图b)。

斜率为零

斜率为零时，直线平行于x轴(见下图c)。

斜率不存在

当直线垂直于y轴，斜率不存在(斜率公式分母为零，见下图d)。

斜率和倾斜度

当斜率的绝对值越大时，直线越“陡峭”（倾斜度增大），否则直线就越“平坦”（倾斜度减小）。
我们设置斜率公式里x2 - x1 = 1 ，就可以直接观察到这一现象。见下图。

从斜率到直线方程

两点式直线方程

当得知直线上任意两点坐标时，可以使用两点式来获得直线方程。

首先，因直线的斜率等于：

稍作变换，则得两点式直线方程:

点斜式直线方程

如上图所示，从直线上任意一点P(x,y)，以及P₁(x₁,y₁)，可以根据斜率公式求出斜率：

则，当已知直线斜率k时，直线方程（点斜式）为：

斜截式直线方程

将点斜式直线方程稍作变换，则得：

令

则得斜截式直线方程：

其中，k为直线斜率，b为x等于零时，直线在y轴的纵坐标(也称截距）
三个直线方程总结如下表（来自百度百科）

两直线平行

两直线平行，其斜率一定相等。

两直线垂直时的斜率间关系

如果两直线垂直，且斜率分别为k₁，k₂则两直线的斜率满足如下公式：

k₁k₂ = -1

证明：

如下图所示，设两直线M₁，M₂互相垂直，交点在原点，且斜率分别为m₁，m₂。
在x = 1处画一条垂直直线与L₁，L₂相交，则构成三直线构成直角三角形。
而此时B点坐标为(1，m₂)，A点坐标为(1，m₁)

根据勾股定理得：

把上面的距离公式代入，得：



公式得证。

习题：

1，如果点(3,k)在一条直线上，且该直线的斜率为-2并过点(2,5)，求k。
2，在什么情况下点(u,v+w)，(v,u+w)，(w,u+v)三点共线？