最近开始复习图像算法。1年前关于拉普拉斯算子一定是学过的。但是记不得了,当时应该是很快看完,死记硬背的,那么久没用,所以忘记了。那么作为第二轮学习,我需要做的是自己推导公式,并且能将数学转换到图像处理的原因弄清楚,这样才能深刻的记住原理,今后才能灵活应用。
一,图像拉普拉斯算子的来源
1. 所谓算子就是卷积核
图像中的卷积的应用可以理解为图像区域中的权重和。这个是基础就不说了。
2. 拉普拉斯3x3算子
0 | 1 | 0 |
---|---|---|
1 | -4 | 1 |
0 | 1 | 0 |
对应的3x3图像处理区域如下
x-1,y+1 | x,y+1 | x+1,y+1 |
---|---|---|
x-1,y | x,y | x+1,y |
x-1,y-1 | x,y-1 | x+1,y-1 |
3. 算子来源
它是x和y方向的向量和,是通过二元参数的二阶偏微分和和得来的。
拉普拉斯算子和图像区域的卷积正是上述公式。
4. 公式推导
导数公式知道,二阶偏导数公式也知道,为什么是这样的形式呢?原因它不是连续函数求导,而是离散点求导。
由于图像中每一点的最小单位为1个像素。所以对一元函数的导数可以写为
也可以写为,图像处理一般用后者展开。
那么一阶导数会求了,一元函数的二阶导数呢?就是一阶导数的导数
,展开如下
,整理得
也可以这样展开
展开如下
,整理得
最后,针对二元函数进行扩展就是
,对x求二阶偏导,全部添加非变量y即可。
同理
那么
至此数学公式推导完成。
二,图像拉普拉斯算子的应用
1. 应用公式
2. 图像中对应公式的含义理解
首先处理的是像素x和y的灰度,从公式可以看出是一种变换,变换的内容为原来的灰度值加上c倍的二阶偏导数的和。
接着把重点放到二阶偏导数的和代表x和y方向的偏导数的和。而导数是研究一种变化率,而偏导数是研究导数的变换率。若是边缘的话,变化率的值一定是很高的,代表相邻像素的差值。而二阶偏导数是一阶偏导数的导数。而拉普拉斯算子其实应用于图像锐化(就是突出边缘的意思)看下图,二阶函数处理后变成了边缘左边为1,边缘右边为-1,这样的情况下与原像素叠加后,边缘值左右两边变换差值更加明显,这样就可以突出边缘效果了。至少我目前是这么理解的
图像中的一阶和二阶导数.png
网友评论