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线性代数|矩阵及其运算

线性代数|矩阵及其运算

作者: 王诗翔 | 来源:发表于2018-10-19 00:00 被阅读97次

  • 如果A和B都是m \times n矩阵，称A和B为同型矩阵，如果对应的元（值）相同，则称两者相等。

  • 只有同型矩阵才能相加，同型矩阵之和仍为同型矩阵

  • kA记作矩阵的数乘

  • 矩阵的乘法：C = A \times B，A的列数必须等于B的行数，更具体表示为
    C_{m \times n} = A_{m \times p} \times B_{p \times n}

  • 线性方程组可以写作以下形式，其中A是系数矩阵，X是变量矩阵，b是常数矩阵
    A \times X = b

  • 矩阵乘法满足下列运算规律：

    1. 结合律：(AB)C = A(BC)
    2. 数乘结合律：k(AB) = (kA)B = A(kB)，k为数
    3. 分配律：A(B+C) = AB + AC，(B+C)A = BA + CA
    4. 矩阵乘法一般不满足交换律：AB \neq BA
    5. 一般来说 (A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2，(A+B)(A-B) \neq (A - B)(A+B) \neq A^2 - B^2

  • 线性变换 Y = AX（都为矩阵形式），在平面直角坐标系中，线性变换是将点(x, y)逆时针旋转\theta度得到新点(x', y')的旋转变换
    \binom{x'}{y'} = \binom{cos(\theta) \qquad -sin(\theta)}{sin(\theta) \qquad cos(\theta))} \binom{x}{y}

  • 矩阵A的转置，记作A^T

  • 矩阵的转置满足以下规律

    • (A^T)^T = A
    • (A + B) ^ T = A^T + B^T
    • (kA)^T = kA^T，k为数
    • (AB)^T = B^TA^T，称为脱衣法则

  • 若A^T = A，则称A为对称矩阵；若A^T = -A，则称A为反对称矩阵

    • AB为对称矩阵的充要条件是AB = BA

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