【原创】线性回归基本概念梳理

作者: Gaafung峰 | 来源:发表于2020-05-15 15:29 被阅读0次

线性回归

基本公式入门

假设函数、误差符合高斯分布、似然函数、目标函数

使用场景:

1、存在已知的数据及结果，根据已知的数据和结果，预测对应新的数据可能发生的结果。

2、例子：

数据有：工资 $x_1$ 、年龄 $x_2$ （样本）

目标是：预测银行会贷款多少钱 $y$ （样本结果）

考虑参数：工资和年龄都会影响最终银行贷款的结果，各自有多大影响(参数）

已有的数据样本如图：

image.png

数据化：我们俩个特征（工资 $x_1$ 、年龄 $x_2$ ）， $y$ 是银行最终借给我们多少钱

公式化：则存在以下公式

假设函数： $h_\theta(x) = \theta_{0} + \theta_{1}x_{1} + \theta_{2}x_{2} = \theta^Tx$ ，来拟合工资、年龄的关系，获得预测值 $h_\theta(x)$
真实值为： $y^{i} = h_\theta(x) + \epsilon^{(i)}$ (预测+误差)
该公式是线性关系，目的是找到最合适的线，来拟合我们数据点，实现假设函数构成，当有新的 $x_1、x_2$ 进入时，可实现预测 $y$
image.png
作用：

1、找到最合适的线，拟合我们数据点

2、根据已有样本 $X[x1, x2, x3]$ ，及结果 $Y$ ，形成拟合平面，即假设函数

$h_\theta(x) = \theta_{0} + \theta_{1}x_{1} + \theta_{2}x_{2}+ ……$

整合后的矩阵形式为

$h_\theta(x) = \sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i = \theta^Tx$

或者

$h_\theta(X)=X\theta$

[ $X为m×1$ 的向量， $为n×1$ 的向量]

实际存在误差：

1、每个样本的真实值 = 预测值 + 误差

$y^{i} = \theta^Tx^{(i)} + \epsilon^{(i)}$ (1)

2、误差是符合高斯分布

$p(\epsilon^{(i)}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(\epsilon^{i})^2}{2\sigma^2})$ (2)

3、两个公式代入，可通过样本X、真实值Y，求误差概率

$p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(y^{i}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2})$

4、获得误差概率的公式目的是：推测相对准确的误差值

引入似然函数：

1、似然函数：概率用于一些已知参数，预测接下来观测所得到结果。

$L(\theta|x) = P(X = x|\theta)$

（给定输出x时，关于参数θ的似然函数L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量X的概率）

也就是用样本去估计参数值，利用已知样本结果，推算有可能（最大概率）导致这样结果的参数值

例如：询问赌场10个人，9个人说赢钱，1个人说输钱，推测大概90%赢钱，参数θ为0.9

(关注的量不是事件发生概率，而是已知发生了某些事件，希望指知道参数为多少)

2、极大似然估计：模型已定、参数未知、通常若干次试验，观其结果，利用实验结果得到某个参数值能使样本出现的概率为最大

3、线性回归的误差概率似然函数，求它的最大值：

$L(\theta) = \prod_{i=1}^m p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) = \prod_{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(y^{i}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2})$

4、从累乘变为累加，使用到对数似然：

$logL(\theta) = log\prod_{i=1}^m p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta) = \sum_{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(y^{i}-\theta^Tx^{(i)})^2}{2\sigma^2})$

化简

$logL(\theta) = mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} - \frac{1}{\sigma^2}·\frac{1}{2}·\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2$

5、引入目标函数（损失函数），求 $\log L(θ)$ 最大，则是求右侧式子最小：

$目标函数 = \frac{1}{2}\sum(预测值 - 真实值)^2$

$J(\theta) = \frac{1}{2}·\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2 = \frac{1}{2}·\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2 = \frac{1}{2}(X\theta-y)^T(X\theta-y)$

梯度下降

image.png

为了使 $J(\theta)$ 最小，直接求导不可取，实际矩阵逆可能不存在，只能求偏导

1、直接令 $J(\theta)$ 的导数为0，则此时的 $J(\theta)$ 最小

$\nabla J(\theta) = \nabla_\theta(\frac{1}{2}(X\theta-y)^T(X\theta-y)) = \nabla_\theta(\frac{1}{2}(\theta^TX^T-y^T)(X\theta-y))$

$= \nabla_\theta(\frac{1}{2}(\theta^TX^TX\theta-\theta^TX^Ty-y^TX\theta+y^Ty))$

$= \frac{1}{2}(2X^TX\theta - X^Ty -(y^TX)^T)$

$= X^TX\theta - X^Ty$

$\nabla J(\theta) = 0$ 则 $\theta = \frac{X^Ty}{X^TX}$ 或者 $\theta = {X^Ty}（{X^TX}）^{-1}$ ,

所以前提是： ${X^TX}$ 的逆矩阵是可求的，实际可能不存在

2、引入梯度概念：

损失函数： $J(\theta_0,\theta_1,...,\theta_n) = \frac{1}{2m}\sum_{j=0}^m(h_\theta(x_0^{(j)},x_1^{(j)},...,x_n^{(j)})-y^{(j)})$

梯度向量：此方向上涨或下降最快的地方（看图）

所以需要求偏导： $\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(h_\theta(x^{(j)}) -y^j)x_i^j$ ，这就是当前==目标函数（损失函数）的梯度==

学习率（步长）：每次往该梯度下降的长度

$下降距离 = 学习率·梯度 = \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n)$

取小，迭代次数多，取大，错过最优解
选择方法
- 1、取大，后面迭代变小
- 2、取小，看是否收敛，不再收敛再次更小
- 3、一般0.01开始

更新参数 $\theta$ ，每走一步都更新一次

$\theta_i = \theta_i - \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n)$

更新参数 $\theta$ 的三种方法：

1、批量梯度下降：容易得到最优解，但是每次考虑所有样本，速度慢
- $\theta_i = \theta_i - \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta) = \theta_i - \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}(h_\theta(x^{(j)}) -y^j)x_i^j$
- $\theta_i = \theta_i - \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta) = \theta_i - \alpha\sum_{j=1}^{m}(h_\theta(x^{(j)}) -y^j)x_i^j$
2、随机梯度下降：每次找一个样本，迭代速度快，但不一定每次都朝着收敛的方向
- $\theta_i = \theta_i - \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta) = \theta_i - (h_\theta(x^{(j)}) -y^j)x_i^j$
3、小批量梯度下降法：每次更新选择一小部分数据来算，实用
- $\theta_i = \theta_i - \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta) = \theta_i - \frac{1}{10}\sum_{k=j}^{j+9}(h_\theta(x^{(k)}) -y^k)x_i^k$
- $\theta_i = \theta_i - \alpha·\frac{\delta}{\delta\theta_i}J(\theta) = \theta_i - \alpha\sum_{j=t}^{t+x-1}(h_\theta(x^{(j)}) -y^j)x_i^{(j)}$