学术散文之四十
心理生命与理论物理
（第六章，6.1节，中）
杨英锐
第四种，一阶理论与算术语义学。前面所述的谓词逻辑，包括了对量词，谓词和个体变元的逻辑处理。其中，规定量词只能约束个体变元，而不能约束谓词变元；这样的逻辑，叫做一阶逻辑。顺便多说两句，如果还允许量词约束谓词变元，就可构造二阶逻辑。二阶逻辑力量更为强大，与集合论等价，加上连续统假设和选择公理，就可以构造出整个现代数学大厦。很多人在黎曼猜想迷宫中绕不出来，原因之一即是没有意识到黎曼迷宫中设有几个二阶逻辑机关。
我们知道，逻辑学（包括计算机科学）与数学之间存在一条鸿沟，部分因为两者的单位元意义不同。在数学中，零是加法的单位元，而1 是乘法的单位元。在逻辑学中，永真的重言式（P或者非P）是析取算子的单位元，而永假的矛盾式（P并且非P) 是合取算子的单位元。现在，任何一个数加零还等于这个数；而任何一个公式与矛盾式的合取等价于假，可视为零。两者不一致。另外，任何一个数乘1还等于这个数，而任一公式与重言式的析取还是真的。两者不一致。类似地，加法与析取以及乘法与合取也分别不一致。以上四种情况说明，逻辑算子与数学运算有本质的区别。那么，如何在逻辑语言与数学语言之间架设一道桥梁呢？这似乎是一个不可能的任务，但哥德尔做到了；他通过五个步骤完成了这个伟大的语言手术，所用正是前述双腿结构方法。
第一步，是设想一个方案，将皮亚诺算术的组分，包括自然数以及加法与乘法植入一阶逻辑，再将这个组合框架重新形式化。这个新的形式系统称为一阶理论。这样，对于一阶理论的句法结构来说，皮亚诺算术即成为其算术语义学。所谓皮亚诺算术，就是一种公理化的算术系统。
第二步，配用自然数与枚举数。自然数，也叫直觉自然数或普通自然数，是皮亚诺算术的底盘。既然现在皮亚诺算术被用作一阶理论的语义学，为便于区别，也可以称普通自然数为语义自然数。为了将自然数移植到一阶理论句法结构中，就要引入相应的枚举数。所谓枚举数，就是用集合论语言定义的自然数。枚举数可由空集和后继函数而归钠定义。方法是，空集定义为0，以空集为唯一元素的集合定为1，以前两者为元素的集合定义为2，以前三者为元素的集合定义为3，等等。如此类推，可依次定义出后继枚举数，乃至可数无穷。在双腿结构中，枚举数可称为句法自然数。
第三步，算术关系与函数项。在算术中有数学运算。由加法和乘法可以构建各种函数，函数可以理解为数与数之间的关系，可以是二元关系，三元关系，乃至n元关系。因为这些关系都是在皮亚诺算术中的关系，所以又称语义关系。语义关系，也就函数，在一阶理论中被形式化为函项，亦称句法函项。
第四步，可表达性。那么，语义关系和句法函项如何关联呢？哥德尔确是科学语言的裁缝巧匠，如果说前二个步骤是费神剪裁，这里开始精心缝制。他引入了“可表达性”概念，由两条规则定义。规则一，如果一个语义n元关系在皮亚诺算术中成立（也就是为真），那么相应的句法n元函项在一阶理论中是可证明的。这条规则很直观，似乎顺利成章。规则二，如果一个语义n元关系在皮亚诺算术中不成立（也就是为假），那么相应的句法n元函项的否定在一阶理论中是可证明的。这条规则不很直观，显然是一种强处理。可表达性架设了一座从算术语义学通往一阶理论的桥梁。
第五步，哥德尔配数法。语言双腿结构的最高境界，是句法语言与语义语言之间可以完全机械地双向精确翻译。注意，这不是简单的语言游戏，而是在足够丰富的一阶理论与皮亚诺算术之间的转换，事涉数学基础的元性质，事关1900年在国际数学家大会上提出的希尔伯特计划。这里试图在不写公式的条件下，简述什么是哥德尔配数法。
一阶理论是一个形式系统，包含无穷多但可数无穷多个符号。可数无穷是一种最小的无穷。我们知道，自然数集是可数无穷。同时，奇数和偶数各有可数无穷多个。其实，所谓一个符号集合是可数无穷，就意味着可以用自然数，甚至只用奇数做脚标去数这个符号集，叫做两者之间可以建立一一对应关系。换句话说，我们可以为每个符号配上一个唯一的奇数，叫做这个符号的“哥德尔数”。
一阶理论有可数无穷多个有穷公式，也就是有穷符号串。现在，顺序使用素数作为指数的底数，第一个素数的肩上放此公式第一个符号的哥德尔数（即做成第一个指数）；第二个素数的肩上放此公式第二个符号的哥德尔数（即做成第二个指数），以此类推，在第n个素数的肩上放此公式第n个，也是最后一个符号的哥德尔数（即做成最后一个指数）。然后，将这n个指数顺序相乘，结果是一个唯一合数（偶数）。这个合数，叫做此公式的哥德尔数。
一阶理论中会衍生中出各种各样的证明，每个证明即为一有序的公式序列。如上所述，每个公式都已配备了一个唯一的哥德尔数。所以，类似地，我们顺序使用素数作为指数的底数，第一个素数的肩上放此证明中第一个公式的哥德尔数（即做成第一个指数）；第二个素数的肩上放此证明的第二个公式的哥德尔数（即做成第二个指数），以此类推，在第m个素数的肩上放此证明的第m个，也是最后一个公式的哥德尔数（即做成最后一个指数）。然后，将这m个指数顺序相乘，结果也是一个唯一合数（偶数）。这个合数，叫做此证明的哥德尔数。
基于以上三层配数过程，我们就可以把一阶理论所有句法组分，包括符号，公式与证明，唯一地且机械地转换为算术语义学中的数了。这是何等的神来之笔。这还只是故事的一半。更为精彩的是，由素数分解唯一性定理（亦称素数第一定理），由一个证明的哥德尔数，可以唯一的分解还原那个证明；由一个公式的哥德尔数，可以唯一地分解还原那个公式；当然，由一个符号的哥德尔数，我们可以立刻找到那个符号。也就是说，我们可以把算术语义学数学语言转换成一阶理论的符号语言。语言双腿结构，不是个摆设，而是要由神径协调，两腿反复轮用，行走奔跑。哥德尔配数法使这成为可能。
哥德尔配数法，体现是人类心智极致之美，给人以极大的心理震撼。它在数学，逻辑学，同时也在心理学掀起出人意料的波澜，这就是哥德尔所创造的自指语句。1931年，哥德尔利用他构造的一个自指语句，证明了，一阶理论的协调性独立于一阶理论，并且一阶理论是不完全的。这部分内容，涉及哥德尔不完全定理和塔斯基不可定义性定理，这是本文第七章关于心理生命“自指期”的内容。
此上四种科学语言双腿结构，都是教科书知识，我只是在不用符号公式的条件下用自然语言整理叙述。以下数种，就留下了杨英锐斧凿痕迹。
第五种，决策论句法结构及其效用语义学。经典公理化决策论句法是一个三层结构。第一层是一集选择，或称可选备项。第二层是说，每一个选择可以产生一集可能结果。第三层是说，每一后果由二个性质也仅由二个性质所刻画，即欲望与可行性。要提出一个决策论问题，就要把问题置入这个句法结构。解决一个决策论问题，要求在选择集上建立全序的偏好关系，即对意二个选择，必须偏好其一，而不能偏好“不予偏好”。偏好是一个句法概念。可以看到，经典决策论句法的词汇表包括五个且仅五个概念：选择，结果，欲望，可行性与偏好，由其组成三层语法结构与解决条件。少一个概念，不成其为一个经典决策问题。多一个概念，说明尚未提炼出合适的决策问题。那么这个经典决策论是什么意思，又如何建立经典偏好关系呢？这叫做语义学向询。
经典决策论句法结构是由上向下构建的，其语义学要由下向上规定决策论意义。首先，欲望的决策论意义只有一个，那就钱数。无论是什么欲望，在决策论的意义下，都必须折算成值多少钱。您可能听这话不舒服，觉得这不是糟踏侮辱人吗？拿我当什么人了，你以为我是拜金狂吗？我热爱我的祖国，那是无价的！我有我的信仰，那是无条件的！这当然可以理解。可是，人们一般不会说，我“决定”爱我的祖国，因为爱祖国是伦理论题。人们一般也不会说，我“决定”信仰上帝，因为那是宗教论题。伦理学和宗教学都超出了决策论框架。这就是决策论的边界，没有边界的理论不是科学，没有明确边界的科学不是成熟的学科。
下一个概念是一个可能结果的可行性。你想要买一辆新车，你甚至想要买下一个汽车公司，两者的可行性显然不同。可行性自然的数学刻画是概率，可是在标准概率论中，一个单独的独立事件没有概率可言。当然，心理学中有关于主观概率的理论，为一个孤立的独立事件配置概率，也叫或然率，这会在在其他上下文中说到，但那不宜放入标准决策论中。注意，一个选择可以产生若干个甚至许多可能的结果，决策者对这些可能结果的看重程度不同，也就是所赋予的权重不同。对于一个选择，所有可能结果被赋予的权重分布，叫做一个策略。要将这个策略转换成一个概率分布，在数学上要做归一化处理，也就是要求一个分布中的所有概率相加等于1。原因是，所涉可能结果都是从属于同一个选择，若视此选择为最优偏好，它即成为现实，而现实事件的概率为1。有了这个归一化的概率分布，就可以为一个可能结果配置概率了。这样，我们才可以说，语法可行性的决策论语义是其概率。
一个可能结果（possible outcome) 由其欲望与可行性两种句法属性刻画。欲望的决策论语义是钱数，可行性的决策论语义是概率，两者相乘，叫做效用。所以，一个句法可能结果的决策论语义就是其效用。这是决策论效用语义学得名的由来。这是第二层，称为结果层。再往上走一层，就回到选项层。一个选项可以产生若干个或许多个可能结果，每个可能结果有其语义效用；这些效用的加和，叫做数学期望。所以，一个句法选项的决策论语义就是其数学期望。
强调一句，钱数是数，概率是数，两者相乘所得效用也是是数，效用相加还是数，所以，效用语义学也叫数字语义学。决策论的系统元性质要求，其句法结构与效用语义学强度相当，不多不少，刚好刚刚好。这个元性质由决策论表示定理所刻画：对于任意二个选项，偏好其中此选项之于彼选项，当且仅当此选项的数学期望大于彼选项的教学期望。可以看到，类似这种元性质的要求，正是从标准逻辑模仿来的。为什么用数字语义学来解释决策论句法结构呢？好处如次。我们不熟悉两个选项之间的偏好关系是什么意思，难以确定，但我们知道两个数之间的大于关系是什么意思，所以用后者解释前者，这就是效用语义学的功能。
（2021-8-31）
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