素域
扩域
定义：若域F是域E的子域,则称E为F的扩域(扩张),并把这一对域记作
注：任一域都是它的子域的一个扩张,任一域都可由它的子域通过扩张得到
素域
定义：若一个域不含真子域,则称为素域
例：
1.若F是
的一个子域,
,故
包含在F中,且也包含在F中,故
,所以是一个素域
2.设p为素数,则
是一个素域,若F是
的一个子域,
,故%5Cin%20F)
,故
定理：设E是一个域,若%3D0)
,则E含有一个与同构的子域,若%3Dp%5Cneq%200)
,则E包含一个与同构的子域
证明：
%3D0)
%3Dp%5Cneq%200)
%3Dpe%3D0)
)
%5Csubseteq%20Ker(%5Cvarphi))
%E6%98%AF%5CZ%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%A4%A7%E7%90%86%E6%83%B3)
%3D1%5Ccdot%20e%5Cneq%200)
)
%E6%98%AF%5CZ%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%9C%9F%E5%AD%90%E7%90%86%E6%83%B3)
%3DKer(%5Cvarphi))
注：一个域是素域,要么与有理数域同构,要么与同构
若E是域F的一个扩域,S是E的一个子集,用)
表示E中含F和S的最小子域,称为添加集合S于F所得的扩域
显然存在,它等于E的所有包含F和S的子域的交
是由所有形如%5Cover%20f_2(a_1%2Ca_2%2C%5Ccdots%2Ca_n)%7D)
的元组成,其中
是S中任意有限个元,
和
是F上关于的多项式,且%5Cneq%200)
若
是一个有限集,则将记作)
定理：设E是域F的扩张,而
和
是E的两个子集,则(S_2)%3DF(S_1%5Ccup%20S_2)%3DF(S_2)(S_1))
证明：
(S_2)%E6%98%AFE%E4%B8%AD%E5%8C%85%E5%90%ABF(S_1)%E5%92%8CS_2%E7%9A%84%E5%AD%90%E5%9F%9F)
(S_2)%5Csupseteq%20F(S_1%5Ccup%20S_2))
%E6%98%AFE%E4%B8%AD%E5%8C%85%E5%90%ABF%2CS_1%5Ccup%20S_2%E7%9A%84%E5%AD%90%E5%9F%9F)
)
(S_2)%5Csubseteq%20F(S_1%5Ccup%20S_2))
注：%3DF(a_1)(a_2)%5Ccdots(a_n))
,即添加一个有限集合所得的扩张等于陆续添加单个元所得的扩张
单扩张
定义：添加一个元
于域F所得的扩张)
称为域F的一个单扩张
注：单扩张是最简单的扩张
例：令%3D%5C%7Ba%2Bbi%7Cab%5Cin%20%5CQ%5C%7D)
,其中
,易知)
是一个域,是的一个单扩张
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