欧式几何：三线八角

就在今天，我们在上数学课的时候，你发出来了一个非常有趣的问题，你正是我们口中所谓的欧式几何，欧式几何是我们要到初中才会学到的，听起来非常的高大上，但是欧式几何其实非常的简单，但是又非常的麻烦，为什么这样说呢？因为欧式几何不再像我们小学部分一样，比如说证明三角形的内角和是180度，不再是动手操作，而是用严格的推理来证明，要有非常清晰的，因为所以，而且欧式几何最大的一个特点就是，当你在写一道题的时候，首先你就要有一个数学公理，这个公理是不证自明的，并不需要推理证明，而且这个数学公理是越少越好，当你再解一道题的时候，你最好只用一个数学公理，然后再利用这一个数学公理推出其他的数学定理，而中间是一个非常严谨的数学思维推理，欧式几何就是这样子的，而且在欧式几何中，你要忘记你以前所学到的东西，只能运用我们现在有的数学公理，就在今天，我们就发现了一个非常神奇的东西，那就是欧式几何中的三线八角。

什么是三线八角呢？从名字我们就可以得到是三条线，而其中的两条线是平行关系，而另一条线相交于这两条线，而且这一条线是过了这两条直线中的任意的一个点，如图。

所以就是这样的一幅图，现在我们就需要一个数学公理，我们现在已经确定的公里是角三等于角四，角七等于角八，角五等于角六，我们可以这样来理解，因为a线平行于b线，那么a线和b线就是可以完全重合，那么当a线和b线重合以后，角四还有角三就重合了，角七和角八也就重合了，但是这种方法也不太符合实际，所以我们就要用想其他的办法证明，可是我们发现都没有其他更好的办法，但是在欧式几何中，我们就可以直接说角一和角二是一样的，他们是同位角，那是你可能就会问了，我并没有证明啊！其实不用证明，这就是欧式几何，就像刚才所说的，就是一个数学公理，不求自明，所以现在我们得到了我们第一个数学公理，那就是同位角相等，

那么现在我们就要求一些其他的定理，我现在就有一个猜测，那就是脚七加上角二有可能等于180度，但是我们不能凭空说，需要加上严格的推理。

那么现在我们推测的目的就是<7+<2=180度，我们刚开始就肯定会有一些条件，那么第一个条件也就是a平行于b，而正是因为a平行于b，所以呢角七等于角八，角三等于角二，而还因角七加角三=180度，那么小气，加角二也肯定就是180度，就是这样的一个过程。

∵a∥b

∴<7=<8，<3=<2

∵<7+<3=180度

∴<7+<2=180度

这就是我们利用一个数学公理而推算出的一个定理，而这也就是同旁内角，同一条线的旁边的两个角，所以现在我们得到的一个结论就是同旁内角相加等于180度，而且这在欧式几何中还有一个专有名词，那就是互补，也就是180度。

那现在我们还有另一个猜测，那就是这个脚七和这个角四是相等的，我们也得用非常严谨的数学推理来证明。

现在我们可以因为a平行于b，而得知角六和角五是相等的，那叫六加上缴四，也就是180度，角五加上角七也是180度，那么180度减去角五的度数，也就是角七的度数，而且180度减去角六的度数，也就是角四的度数，而角五和角六的度数是一样的，那么也就说明脚七和角四的度数也是一样的，所以我们就推理出来了。是这样的一个过程。

∵A∥b

∴<5=<6，

∵<5+<7=180度，<6+<4=180度

∴<7=<4

这是我们推断出的第二个定理，而这也就是内错角，所以内错角是相等的。

在当我们探索到这里的时候，又发现了一些好玩的例子，就比如我们以前小学阶段所说的长方形，在我们学长方形的时候，可能一些老师就直接跟你说长方形内的对角是一样的，而且老师可能会给我们每人发一个长方形，然后让我们不断地对折，利用这些运动来证明，那么在欧式几何中，你是完全没有这个概念的，我们必须要有严谨的推理来证明。

首先我们肯定需要一个长方形，如下图：

如圣徒，现在有一个长方形，然后我又做了一些改动，为了更方便让我们理解。

如图，现在我们已知的情况，那就是a平行于b，而正因为a平行于b，那么角一加上角二就等于180度，得到这一步，就是运用了，我们刚才得到的一个定理，同旁内角，这时候就不用重新去推算了，这个定理也就是我们运用到的工具，而且c也是平行于d的，那么我们也可以得到角一加上角3=180度，现在就简单明了了，两个算式中都有一个角一，那么现在我们就可以直接得出角三等于角二，那么长方形内的两个对角，也就是相等的，整个过程如下。

∵a∥b

∴<1+<2=180度

∵c∥d

∴<1+<3=180度

∴<2=<3

而且我们还揪出来了三角形，以前在我们学三角形的时候，老师会让我们把这三个角剪下来，然后把这三个角拼在一块，观察，也就证明了三角形的内角和是180度，所以现在我们就用推理来证明一下三角形的内角和是不是180度。

首先需要有一个三角形，如图。

我还在这个三角形上加了一点东西，为了方便我们理解，并且我还标出了角一角二角三，和角a角b，现在我们已知的条件就是a平行于b，而且我们可以利用这个，而得出来，角二等于角a，利用的是我们上面求出来的内错角，除了这个，我们还可以求出来角三等于角b，而且角一加角二加角三也就是180度，他们形成了一个平角，那么角一加角a加角b也就是180度了，因为角a顶替了角二，角b顶替了角三，所以我们也就可以求出来三角形的内角和是180度，过程如下

∵a∥b

∴<2=<a，<3=<b

∵<1+<2+<3=180度

∴<1+<a+<b=180度

我们就求出来三角形的内角和了，而且我们是用推理推出来的，除了探索这些，我们还可以利用我们现在所得知道的去探索其他的长方形，三角形或者其他图形的秘密，而这又是何等的神奇呢？

这是我第一次感觉到欧式几何，当你开始研究欧式几何的时候，就等于说你跳进了一个严谨的思维坑，你是用严谨的推理而得到一些定理，而且当你又推出来一个定理的时候，会非常的有成就感，这是多么的奇妙啊！我想这就是欧式几何的魅力所在吧。