什么是“无套利原理”？

作者: 流星落黑光 | 来源:发表于2018-09-25 21:08 被阅读0次

“套利”定义

在一个自融资投资策略 $\Phi$ 被称为在 $[0,T]$ 内存储在套利机会（arbitrage opportunity），如果存在 $t* \in [0,T)$ ，使得当
$V_{t*}(\Phi) = 0$ 有
$V_T(\Phi)\geqslant 0$ 且
$Prob\{V_T(\Phi)>0\}>0$ 其中， $Prob\{\omega\}$ 表示时间 $\omega$ 发生的概率。
解释：
投资策略是指由多个无风险资产（比如国债、存银行）和风险资产（比如股票、期权）组成的投资组合。
自融资是指在整个交易时段中间没有资金加入或抽走。
第一个式子 $V_{t*}(\Phi) = 0$ 可由在投资组合中加入无风险资产（由其可确定性质）构造。意义的话不太明白，可能是为了后面好表达？
第二个式子配合第一个，表示这是一个没有风险的情况，第三个式子表示有获利的可能。
整体来说，就是在风险市场中无风险地获得收益，类似“白嫖”。
在“金融模型及计算-（1）”中也提到，这种白嫖行为显然是会破坏市场平衡的，类似于游戏出bug。现实中确实可能会有，但在理论中，我们假设它不存在，即“市场中不存在套利机会”。

无套利原理

定理2.1 若市场在时段 $[0,T]$ 内是无套利的，则对于任何两个投资组合 $\Phi_1$ 和 $\Phi_2$ ，如果
$V_T(\Phi_1) \geqslant V_T(\Phi_2)$ 且
$Prob\{ V_T(\Phi_1) > V_T(\Phi_2) \}>0$ 成立，那么对于任意 $t \in [0,T)$ ，必有
$V_t(\Phi_1) > V_t(\Phi_2)$ 解释：无套利情况下，若T时刻两个投资组合能确定收益大小关系，且有收益差距的可能，就能确定中间时刻的严格大小关系。证明思路就是用套利的定义反证。
作用：为什么要用T时刻的关系推中间时刻t呢，因为风险资产的回报是不确定的，但可能在某个固定时刻可以确定，比如期权在到期日才能确定收益。使用无套利原理就可以计算中间时刻的大小关系。

推论2.1 若在 $[0,T]$ 内市场无套利，投资组合 $\Phi_1$ 和 $\Phi_2$ 有 $V_T(\Phi_1) = V_T(\Phi_2)$ ，那么对任意时刻 $t\in [0,T]$ ，必有 $V_t(\Phi_1) = V_t(\Phi_2)$ 。

证明：两次使用定理2.1，就可证明等号时的情况。
应用：定理2.1和推论2.1都可用于后续的证明，当用到不等式的时候就用定理2.1，用到等式的时候就用推论2.1。

关于无套利原理的使用

当前我们对原生资产（股票）价格的运行没有建立任何模型，只假设市场无套利。
在此假设下，我们可以得到一些关于欧式期权和美式期权的不等式和等式：

https://www.jianshu.com/writer#/notebooks/29616614/notes/34961324/preview
为什么期权的价值不固定？什么是“期权定价估计”？

这些不等式或等式都是仅仅由无套利原理限制的，和原生资产的价格规律没有任何关系。在证明的时候，本质上是倒向的，即有了 $t=T$ 的期权价格，反推 $t\in [0,T)$ 的价格的相关性质。期权定价是一个倒向问题，这是在整本书中都通用的规律。
然而，如果不建立原生资产价格运行的模型，对于期权定价只能定性（只有不等式约束），无法具体到某个值。因此，我们必须给出原生资产的价格模型。在下一章中，我们假设原生资产符合二叉树模型（离散的单时段双状态模型），这是一个最简单也最基础的模型，并在二叉树模型下进行期权定价的相关讨论。

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