二叉查找树

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现
快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。

这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的
每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。

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1. 二叉查找树的查找操作

我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数
据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数
据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

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结合代码

    public class BinarySearchTree {
        private Node tree;
        public Node find(int data) {
            Node p = tree;
            while (p != null) {
                if (data < p.data) p = p.left;
                else if (data > p.data) p = p.right;
                else return p;
            }
            return null;
        }
        public static class Node {
            private int data;
            private Node left;
            private Node right;
            public Node(int data) {
                this.data = data;
            }
        }
    }

2. 二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需
要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。
如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位
置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值
小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左
子树，查找插入位置。

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结合代码

public void insert(int data) {
        if (tree == null) {
            tree = new Node(data);
            return;
        }
        Node p = tree;
        while (p != null) {
            if (data > p.data) {
                if (p.right == null) {
                    p.right = new Node(data);
                    return;
                }
                p = p.right;
            } else { // data < p.data
                if (p.left == null) {
                    p.left = new Node(data);
                    return;
                }
                p = p.left;
            }
        }
    }

3. 二叉查找树的删除操

二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除
节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。
第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的
指针置为 null。比如图中的删除节点 55。
第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要
更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删
除节点 13。
第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右
子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯
定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则
来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。

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结合代码

    public void delete(int data) {
        Node p = tree; // p 指向要删除的节点，初始化指向根节点
        Node pp = null; // pp 记录的是 p 的父节点
        while (p != null && p.data != data) {
            pp = p;
            if (data > p.data) p = p.right;
            else p = p.left;
        }
        if (p == null) return; // 没有找到
// 要删除的节点有两个子节点
        if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
            Node minP = p.right;
            Node minPP = p; // minPP 表示 minP 的父节点
            while (minP.left != null) {
                minPP = minP;
                minP = minP.left;
            }
            p.data = minP.data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
            p = minP; // 下面就变成了删除 minP 了
            pp = minPP;
        }
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
        Node child; // p 的子节点
        if (p.left != null) child = p.left;
        else if (p.right != null) child = p.right;
        else child = null;
        if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
        else if (pp.left == p) pp.left = child;
        else pp.right = child;
    }

}

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

4. 二叉查找树的其他操作

除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

支持重复数据的二叉查找树

前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。
前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。
第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。
每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。

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当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，
直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。

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对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

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二叉查找树的时间复杂度分析

我们来分析一下，二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。
实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)

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我刚刚其实分析了一种最糟糕的情况，我们现在来分析一个最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？
从我前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就转变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？

树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n
个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。
不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L）。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：

n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)

借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L 的范围是 [log (n+1), log n +1]。完全二叉树的层数小于等于 log n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 log n。
显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

思考

散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的
O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是
O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？
我认为有下面几个原因：
第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳
定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。

第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。
综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

总结

二叉查找树中，每个节点的值都大于左子树节点的值，小于右子树节点的值。不过，这只是针对没有重复数据的情况。对于存在重复数据的二叉查找树，我介绍了两种构建方法，一种是让每个节点存储多个值相同的数据；另一种是，每个节点中存储一个数据。针对这种情况，我们只需要稍加改造原来的插入、删除、查找操作即可。
在二叉查找树中，查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端情况的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。
为了避免时间复杂度的退化，针对二叉查找树，我们又设计了一种更加复杂的树，平衡二叉查找树，时间复杂度可以做到稳定的 O(logn)