除法运算的“商不变”（一）

  商不变，指的是在除法运算中，如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），那么除法的商变不变。这个内容是小学四年级上册，他是安排在小数除法之前，用意在于计算除数是小数的除法是利用商不变，可以将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法。

  数学课程内容强调知识的贯通上，实际上就是知识之间的普遍联系，有的联系是显性的，直接的，有的是隐形的，间接的。

  一、商不变与分数和正比例

  除法、分数和比这三个概念是紧密相关的。除法作为相对于乘法的逆运算而存在的，侧重计算的过程、方法和结果。分数是为了表达小于1的数而出现的，相对的概念是整数中的倍，侧重表达局部与整体的关系。比实际上是一个几何意义的概念，是为了表达两个量之间的关系而产生的，其含义包括了分数表示局部与整体关系的含义。

  商不变，这个内容不仅用于“小数除法”，还为“分数基本性质”和“正比例”的学习奠定基础，同时为中学学数学乃至高等数学的相关内容都有联系。

  二、商不变的规律性特征

  商不变是除法运算系统中的一个规律，这一规律，一般含义是指许多事物之间的某种联系。数学中这种规律通常表现为“运动与变化中的不变因素”。比如：4除以2等于2，8除以4等于2，12除以6等于2……

  每两个算式的被除数之间的倍数关系和除数之间的倍数关系都是一样的，这样的联系导致了所有算式的运算结果都是相同的。在数学中，这种“变中的不变”往往都被认为是重要的，因为这样的不变因素可以把握变化的状态，具有预见的作用。

  从方法论的角度来看，可以把从“运动与变化中寻找不变因素”看作一种方法，不妨叫做一种“异中求同”。这种方法在解决问题的时候经常使用。比如：湖面上有一些天鹅，飞走了5只，还剩23只。问湖面上原来有多少只天鹅？这里的关系可以分为三种形式：原有=飞走+剩下，原有—飞走=剩下，原有—剩下=飞走。