一、原理解释

1.1、从线性回归到逻辑回归

考虑二分类问题，线性回归模型产生的是实值，仍需要转化为0/1值。因此单位阶跃函数(unit-step function)是一个自然的选择，但是阶跃函数不连续，因此考虑采用逻辑函数(logistic function)（Sigmoid函数的一种）： 二者图像如下所示：

单位阶跃函数与逻辑函数图像
由此则有：即：

实际上是用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率。由于是0/1二分类问题上式可改写为：

由此可以得到：

对于给定的实例，按照上式可以求得和，通过比较两个条件概率的大小，将实例分到概率较大的一类。

1.2、模型参数估计

本节采用极大似然估计法(maximum likelihood method)来估计和。
设：,
则似然函数为：
对数似然函数为：

对求极大值，即得到的估计值。由此问题变为以对数似然函数为目标函数的最优化问题，这是一个高阶可导连续凸函数，可以采用梯度下降法进行求解:

二、算法实现

2.1 手动实现

以下是通过最大似然估计来求解逻辑回归的过程
1、导入包和文件

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import optimize

datafile = 'data2.txt'

2、主函数，实现整个逻辑回归的过程，调用scipy 的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）

def LogisticRegression():
    data = np.loadtxt(datafile,delimiter=',',dtype=np.float64)

    X = data[:,:-1]
    Y = data[:,-1]  

    Xm = MapFeature(X[:,0],X[:,1])  # mapping to polynomial
    init_theta = np.zeros((Xm.shape[1],1))  # initial theta
    init_lambda = 0.1

    J = Cost(init_theta,Xm,Y,init_lambda)   # cost function
    print('J:',J)

    result = optimize.fmin_bfgs(Cost,init_theta,fprime=Gradient,args=(Xm,Y,init_lambda))
    #result = optimize.fmin(Cost,init_theta,args=(Xm,Y,init_lambda))
    p = Predict(Xm,result)
    print('accuracy:{}'.format(np.mean(np.float64(p==Y)*100)))

    plot_boundary(result,X,Y)

3、数据映射，因为数据的feature可能很少，导致偏差大，映射为二次方的形式：

def MapFeature(x1,x2):
    max_degree = 2      # 1,x1,x2,xi^2,x1x2,x2^2
    out = np.ones((x1.shape[0],1))   # output after mapping

    for i in range(1,max_degree+1):
        for j in range(i+1):
            temp = np.multiply(x1**(i-j),(x2**j))
            out = np.hstack((out,temp.reshape(-1,1)))
    return out

4、代价函数与梯度函数，考虑了正则化

def Cost(init_theta,X,Y,init_lambda):
    m = len(Y)
    J = 0
    p = 1-Sigmoid(np.dot(X,init_theta))  # calculate p
    theta = init_theta.copy()
    theta[0] = 0

    temp = np.dot(np.transpose(theta),theta)    # considering regularization
    J = (-np.dot(np.transpose(Y),np.log(p)) - np.dot(np.transpose(1-Y),np.log(1-p)))/m + temp*init_lambda/(2*m)
    return J
def Gradient(init_theta,X,Y,init_lambda):
    m = len(Y)
    grad = np.zeros((init_theta.shape[0]))

    p = 1-Sigmoid(np.dot(X,init_theta))  # calculate p
    theta = init_theta.copy()
    theta[0] = 0

    grad = -np.dot(np.transpose(X),p-Y)/m + init_lambda/m*theta
    return grad

5、激活函数与预测函数

def Sigmoid(z):
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))
def Predict(X,theta):
    m = X.shape[0]
    p = np.zeros((m,1))
    p = 1-Sigmoid(np.dot(X,theta))
    for i in range(m):
        if p[i]>0.5:
            p[i]=1
        else:
            p[i]=0
    return p

6、绘图函数，边界以等高线的形式绘制

def plot_boundary(theta,X,Y):
    c0 = np.where(Y==0)
    c1 = np.where(Y==1)
    plt.plot(X[c0,0],X[c0,1],'ro')
    plt.plot(X[c1,0],X[c1,1],'y*')
    #u = np.linspace(30,100,100)
    #v = np.linspace(30,100,100)
    u = np.linspace(-1,1.5,50)
    v = np.linspace(-1,1.5,50)
    z = np.zeros((len(u),len(v)))
    for i in range(len(u)):
        for j in range(len(v)):
            z[i,j] = np.dot(MapFeature(u[i].reshape(1,-1),v[j].reshape(1,-1)),theta)
    z = np.transpose(z)
    plt.contour(u,v,z,[0,0.01])
    plt.show()

7、调用主函数

if __name__=='__main__':
    LogisticRegression()

运算结果如下所示： 散点图及分类边界

2.2、调用sklearn包

调用sklearn的linear_model中的LogisticRegression模型，实现过程如下：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split

datafile = 'data2.txt'

def Logistic_Regression():
    data = np.loadtxt(datafile,delimiter=',',dtype=np.float64)

    X = data[:,:-1]
    Y = data[:,-1]

    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,Y,test_size=0.2)
    scaler = StandardScaler()   
    scaler.fit(x_train)
    x_train = scaler.transform(x_train)
    scaler.fit(x_test)
    x_test = scaler.transform(x_test)

    model = LogisticRegression()
    model.fit(x_train,y_train)

    predict = model.predict(x_test)
    right = sum(predict==y_test)

    print('accuracy:',right/len(predict)*100)

if __name__=='__main__':
    Logistic_Regression()

模型预测的准确率为 accuracy: 54.166666666666664

获取原始数据请点击这里，感谢lawlite19的贡献。

三、问题讨论

在以上实现的过程中，遇到了以下问题，现加以分析和阐明。

3.1、正则化

在回归和分类参数估计的过程中，当模型过于简单时，会发生欠拟合，而当模型过于复杂时，会发生过拟合，这两种问题都是要避免的。为避免过拟合，在进行参数估计时，正则化是一种常见方式。

回归中的欠、正常、过拟合 分类中的欠、正常、过拟合

正则化(regularization)通过保留所有的特征，但是减少参数大小，以在学习过程中降低模型复杂度和不稳定程度，从而避免过拟合的危险。

在上述实现过程中，我们正则化项采取了如下的平方项（因为不知道哪些特征需要惩罚，因此对所有参数进行惩罚），其中为正则化参数。

L1、L2正则化
范数的一般化定义：
当p=1时，是L1范数，其表示某个向量中所有元素绝对值的和。
当p=2时，是L2范数， 表示某个向量中所有元素平方和再开根， 也就是欧几里得距离公式。
惩罚项为L1范数的正则化即是L1正则化。因为参数的大小与模型的复杂度成正比，所以模型越复杂，L1范数就越大。使用L1范数也可以实现特征稀疏，导致 W 中许多项变成零。L1正则化是正则化的最优凸近似，相对L2范数的优点是容易求解。
惩罚项为L2范数的正则化即是L2正则化。让L2范数的正则化项最小，可以使W的每个元素都很小，都接近于零。但是与范数L1不同，它不使每个元素都为0，而是接近于零。越小的参数模型越简单，越简单的模型越不容易产生过拟合现象。L2范数不仅可以防止过拟合，而且还使优化求解变得稳定与迅速。

二维情况下L1,L2范数的最优解
左图为L1正则化的约束项，右图为L2正则化的约束项。通过可视化可以发现，使用L1正则化在取得最优解的时候的值为0，相当于去掉了一个特征，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。而使用L2正则化在取得最优解的时候特征参数都有其值，且值都不同程度变小。这也可以通过公式看出：
在没有L2正则化项时，参数更新形式如下：

考虑L2正则化项时，参数更新形式变为：

从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，都要先乘以一个小于1的因子，从而使得不断减小，因此总得来看，是不断减小的。

3.2、最小二乘与最大似然

最小二乘法是一种数学优化技术，主要是通过未知参数的选择，使模型的拟合值与观测值之差的平方和达到最小。实质上是对模型优劣的衡量做了一个标准，然后设计算法寻找符合这个标准的参数。对于上述拟合问题，即使：

采用梯度下降算法，则有：

则：

本文所采用的最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)一种重要而普遍的求估计量的方法。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。对于最大似然估计来说，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本的观测值的概率最大，也就是概率分布函数或者似然函数最大。
最大似然估计需要已知这个概率分布函数，一般假设其满足正态分布函数的特性，在这种情况下，最大似然估计与最小二乘估计是等价的，也就是估计的结果是相同的。

参考资料

[1] https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python
[2] 周志华 著. 机器学习. 北京:清华大学出版社,2016
[3] 李航 著. 统计学习方法. 北京:清华大学出版社,2012
[4] 史春奇等 著. 机器学习算法背后的理论与优化. 北京:清华大学出版社,2019
[5] Peter Harrington 著. 李锐等 译. 机器学习实战. 北京:人民邮电出版社,2013

我知言，我善养吾浩然之气。 ——《孟子·公孙丑上》