有心力问题（3）: 等效一维问题以及轨道分类

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-16 18:28 被阅读0次

有心力可被转化为四个积分问题，但这类椭圆积分通常不太容易求解。所以，如何利用已知运动方程以及能量守恒，对系统进行定性分析并最大程度地提取运动信息就是本篇将会涵盖的内容。

$\bullet$ 当系统的能量以及角动量都已知时，由于总能量守恒： $E = \frac{1}{2}mv^2 + V(r) \implies v = \sqrt{\frac{2}{m}(E - V(r))}$ 。径向速度 $\dot{r} = \sqrt{\frac{2} {m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}$ ，又因为 $l = mr^2\dot{\theta}$ ， $v = \sqrt{\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2}$ ，微粒在有心力场中运动的速度和大小就可被立即确定。

$\bullet$ 在有心力问题 part.2: 运动方程以及第一积分中我们得到了方程：

$m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} = f(r)$

它仅含有 $r$ 以及它的导数，描述的是微粒在有心力场中角动量不为零情况下的运动。如果令 $\boxed{f^{\prime}(r) \equiv f(r) + \frac{l^2}{mr^3} }$ ，可将方程改写为：

$m\ddot{r} = f^{\prime}(r)$

这是一个微粒在受到有效力 $f^{\prime}(r)$ 作用下的一维等效运动方程。其中 $\frac{l^2}{mr^3} = mr\dot{\theta}^2 = m\frac{v_{\theta}^2}{r}$ ，它是我们再熟悉不过的离心力(centrifugal force)。

同样的结论也可由能量守恒得来。

因为

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\frac{l^2}{mr^2} + V(r) = E = \text{const.}$

令等效势 $\boxed{V^{\prime}(r) \equiv \frac{1}{2}\frac{l^2}{mr^2} + V(r)}$ ，

于是

$f^{\prime}(r) = -\frac{\partial V^{\prime}(r)}{\partial r} = f(r) + \frac{l^2}{mr^3}$

我们得到了跟之前一样的表达式。我们把 $\frac{1}{2}\frac{l^2}{mr^2}$ 称为离心势(centrifugal potential)。

再利用上述定义，总能量便可被简写成如下形式：

$\boxed{E = V^{\prime}(r) + \frac{1}{2}m\dot{r}^2}$

这是微粒等效一维运动所具有的能量。

$\bullet$ 所谓的定性分析，主要是分析有效势函数的变化，然后对微粒运动的可能轨道进行分类。首先要明确的是，有效势形式多变，系统主动力势的形式、角动量是否为零等条件都将影响微粒的运动轨道。

定性分析有效势的图像，我们主要遵循如下几个方面：

（1）当距离 $r$ 趋近零或无穷时，有效势是如何改变的？是否存在任何渐近线？

（2）有效势是否与坐标轴（ $r$ 轴和 $V^{\prime}$ 轴）有交点？

（3）有效势是否存在驻点？它是局部最大还是局部最小？

当解决实际问题时，三方面不一定要面面俱到，而应视有效势函数的具体形式而定。我们分析有效势在 $r$ 极限时的情况主要是为了判断微粒运动是否有界，好对微粒的长期运动有大体的理解。我们寻找截点主要是为了确定系统的平衡点，判断微粒是否经过力心，帮助分析之后微粒的运动方向。我们求解驻点是为了确定有效势的最大值/最小值。由于总能量守恒，驻点也对应了微粒等效一维运动的动能的最小值/最大值。

$\bullet$ 接下来我们需要考虑当能量 $E$ 具有不同大小时，微粒可能出现的运动模式。按照有效势的变化，我们通常会考虑 $E > 0$ ， $E = 0$ 和 $E < 0$ 三种能量区域所对应的微粒运动。由于速度不含有虚部，动能总是非负的，所以总能量 $E$ 应始终大于等于有效势（ $E$ 的图像应始终位于有效势的上方）。能量 $E$ 小于有效势的区域则属于物理禁止区，这些区域符合数学模型的描述，但不具有任何物理意义。

在任何物理允许区域内，如果能量 $E$ 与有效势存在交点，即 $E = V^{\prime}$ ，那么交点也将是动能为零的点。这些点对应了微粒在轨道上的转折点(turning points)，它们是微粒速度方向改变的点。要寻找这些交点，求解等式 $E = V^{\prime}(r)$ 中的 $r$ 即可。

通常情况下，解的个数如果不同，微粒的运动情况也会发生变化：

（1）存在一个解：单侧转折点。这种情况下的微粒运动是无界的，轨道也不封闭，微粒通常会从无穷远处靠近力心，到达转折点后被反方向弹射出去，然后又运动至无穷远处，再不会返回。双曲线和抛物线轨道都属于这种类型。

（2）存在两个解：双侧转折点。能量与有效势存在两个交点 $r_1$ 和 $r_2$ ，我们有时把这两个距离称为拱心距(apsidal distances)。以力心为圆心，以这两个距离为半径，可以得到两个半径一大一小的同心圆，微粒的运动轨道是完全由这两个圆约束的：微粒不能离力心太远，远到超出大圆半径；微粒亦不能靠力心太近，近到不及小圆的半径。我们把微粒轨道与两圆的交点分别称为远心点(apoapsis)和近心点(periapsis)。椭圆轨道、圆轨道均属此类。

$\bullet$ 作为例子，我们来分析平方反比吸引力场。

主动力势 $V(r) = -\frac{k}{r},\; k> 0$ ，吸引力 $f(r) = -\frac{\partial V}{\partial r} = -\frac{k}{r^2}$ 。

极限下的情况：

$\lim_{r\rightarrow 0}V^{\prime}(r) = \infty$ ； $\lim_{r\rightarrow \infty}V^{\prime}(r) = 0^{-}$

微粒离力心非常近时，有效势非常大；微粒离力心非常远时，有效势从负方向逐渐减为零。渐近线有 $r = 0$ 和 $V^{\prime} = 0$ 。

有效势与 $r$ 轴存在一个交点：

$0 = -\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2mr^2} \implies r = \frac{l^2}{2mk}$

驻点：

$\frac{d}{dr}\left(-\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2mr^2}\right) = 0 \implies r = \frac{l^2}{mk}$

刚好位于截点二倍处。

又因为

$\frac{d^2}{dr^2}\left(-\frac{k}{r} + \frac{l^2}{2mr^2}\right)_{r = \frac{l^2}{mk}} > 0$

驻点是一个局部最小值。

两条虚线分别表示了平方反比势和离心势；实线表示了有效势。可见，它的变化情况符合先前的分析。

图中，横线 $E_1$ 到 $E_4$ 代表了不同的能量，它们分别对应了 $E > 0, \; E = 0,\; E 的情况。当然系统的真实情况只可能是其中一种。比如，当系统具有能量<img class=$ 时，从图上我们可以看到，能量与有效势只有一个交点，而能量必须始终位于有效势的上方，所以微粒运动情况的图像只能取交点以右的部分。很明显，运动是无界的，轨道不封闭。

$E_4$ 的情况值得一提，它是 $E < 0$ 范围的特殊情况。由于 $E_4$ 与有效势相切，所以转折点重合，这时微粒的轨道是圆。又因为 $E = T + V^{\prime} = V^{\prime}$ ，所以 $T = 0$ ，微粒的径向速度 $\dot{r} = 0$ 。根据定义，有效势的负梯度是有效力，而这是切点处斜率刚好为零，所以

$f^{\prime}(r) = f(r) + \frac{l^2}{mr^3} = 0 \implies f(r) = -\frac{l^2}{mr^3} = -mr\dot{\theta}^2$

主动力与离心力等大反向，这是物体做圆周运动的条件。

$\bullet$ 上述分析中我们只讨论了对于相同的角动量，不同能量对行星轨道的影响。但事实上，即使我们选择固定能量，调整角动量的大小，轨道的模式也不会跟之前有太大不同。通常，对于任何吸引力场，轨道都可以分成三种类型：开放轨道，封闭轨道以及圆轨道。而相应的有心力势函数都将呈现如下两个特点：

（1）当 $r \rightarrow \infty$ 时，势函数减小速率小于 $1/r^2$ 的减小速率。

（2）当 $r \rightarrow 0$ 时，势函数趋近无穷的速率小于 $1/r^2$ 趋近无穷的速率。

特点（1）保证了当距离非常远时，主动力势占支配；而特点（2）则保证了当距离非常近时，离心势占支配地位。

若势函数不满足以上两个特点，行星运动模式就会发生改变。但我们仍然可以进行一些简单的定性分析。

（例）

现在考虑立方反比吸引力势 $V(r) = -\frac{a}{r^3},\; a > 0$ ，吸引力 $f(r) = -\frac{3a}{r^4}$ 。

由于总能量守恒，有效势依然由两部分组成： $V^{\prime}(r) = \frac{l^2}{2mr^2} - \frac{a}{r^3}$

由于

$\lim_{r\rightarrow \infty}U_{eff}(r) = 0^{+}; \quad \lim_{r\rightarrow 0}U_{eff}(r) = -\infty$

有效势有两条渐近线： $r = 0$ 和 $V^{\prime} = 0$

截点：

$\frac{M^2}{2mr^2} - \frac{a}{r^3} = 0 \implies r = \frac{2ma}{l^2}$

驻点是局部最大值：

$\frac{dU_{eff}}{dr} = \frac{3a}{r^4} - \frac{M^2}{mr^3} = 0 \implies r = \frac{3ma}{M^2}$

$\left.\frac{d^2 U_{eff}}{dr^2}\right|_{r = \frac{3ma}{M^2}} = \frac{M^{10}}{3^3m^5a^4} - \frac{4M^{10}}{3^4m^5a^4} < 0$

可见，与平方反比势刚好相反，立方反比势从负无穷出发一直增加，在 $r = \frac{2ma}{l^2}$ 处穿过 $r$ 轴并在 $r = \frac{3ma}{l^2}$ 处取得局部最大。过后开始减小，从正方向无限接近零。

这样一来，可能出现的运动模式将取决于轨道半径 $r_0$ ，并且只可能有两类：

（1）当 $E > 0$ 是，存在两个拱点 $r_1,r_2$ 。若 $r_0 < r_1$ ，轨道封闭，行星将接近并穿过力心，但轨道半径永远不会超过 $r_1$ ；若 $r_0 > r_2$ ，轨道开放，行星将远离力心，轨道半径永远不会小于 $r_2$ ；中间区域 $r_1 < r_0 < r_2$ 则是物理禁止区，没有任何实际意义。

（2）当 $E< 0$ 时，运动情况与（1）中 $r_0 < r_1$ 时的相似，轨道也是封闭的。

$\bullet$ 另一个有趣的例子则涉及线性恢复力（各向同性谐振子）：

$f(r) = -kr,\quad V(r) = \frac{1}{2}kr^2,\quad V^{\prime}(r) = V(r) + \frac{l^2}{2mr^2}$

当角动量 $l = 0$ 时， $V^{\prime}(r) = V(r)$ ，振子沿轴做直线运动。

从图可以看到，对于任何非负的能量 $E$ ，振子的运动都是有界的，它是我们熟悉的简谐运动(simple harmonic motion)。

当角动量 $l \ne 0$ ，有效势 $V^{\prime}(r) =\frac{1}{2}kr^2+ \frac{l^2}{2mr^2}$ ，

$\lim_{r\rightarrow \infty}V^{\prime}(r) = \infty,\quad \lim_{r\rightarrow 0}V^{\prime}(r) = \infty$ ，存在渐近线 $r = 0$ ，与 $r$ 轴无交点。

驻点是局部最小：

$\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2}kr^2 + \frac{l^2}{2mr^2}\right) = 0 \implies r = \left(\frac{l^2}{mk}\right)^{1/4}$

$\left.\frac{d^2 V^{\prime}}{dr^2}\right|_{r = \left(\frac{l^2}{mk}\right)^{1/4}} = 4k > 0$

对于任何物理允许区域的能量，振子的运动都是有界的，并且不经过力心。考虑在 $x，y$ 平面内，恢复力 $\mathbf{f}(\mathbf{r}) = -k\mathbf{r} = -kx\boldsymbol{\hat{e}_x} + -ky\boldsymbol{\hat{e}_y}$ 。单纯 $x$ 与 $y$ 方向均是简谐运动，由于相互垂直，合运动的轨迹明显为椭圆。它也是小角度球形摆的运动轨迹。

著名的利萨茹曲线(Lissajous curve)正是由上述两个相互垂直，频率比为有理数的正弦振动合成。当频率比为 $1:1$ 时，同相（ $\varphi = 0$ ）振动的轨迹是直线，异相（ $\varphi = \pi/2$ ）振动的轨迹是圆，任何介于中间的轨迹则是椭圆。