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数学特征工程之特征分析

数学特征工程之特征分析

作者: 道悅 | 来源:发表于2022-08-18 11:47 被阅读0次

    本文涉及到四个关键词:特征、特征工程、分析、特征分析。

    对”特征”和”特征工程”理解,建议先阅读本人今日头条上的两篇文章:基于特征和模式驱动的解题策略浅谈数学中的特征工程

    牛顿:”在研究困难的事物时,总是应当先用分析的方法,然后才用综合的方法。”

    和分析有关的一些词汇

    先介绍下和”分析”相关的一些内容。

    我们在工作中经常听到如下和分析有关的词汇:需求分析、问题分析、数据分析、SWOT分析、5w2h分析、 鱼骨图分析法、麦肯锡七步分析、5why分析、解题分析、因素分析、要素分析、属性分析、表征分析、特征分析、结构分析、成分分析、指标分析、性能分析、趋势分析、走势分析、矛盾分析、形式分析、形态分析、整体分析、局势分析、阶级分析、因果分析、定性分析、定量分析、确定性分析、宏观分析、微观分析等。

    下面介绍思维学中的分析思维。

    什么是”分析思维”

      分析思维是逻辑思维的基本方法之一,从整体到部分,把一件事物、 一种现象、 一个概念分成比较简单的几个组成部分, 然后从各部分中找出自身的本质属性以及彼此之间的内在联系。 通过局部的分析和整体的联系使我们对某个事物, 某种现象得出一个完整而又正确的认识。

    ”分析思维”的作用

    从表象到深层信息(原因/因素/联系),通过运用分析思维,研几入微,深入地挖掘事物内部隐藏的深层信息,化隐为显,抽丝剥茧,拨云见日,把它们揭示显露出来。

    在每个学科和领域,都有各自的分析方法和分析维度,我们这里局限于数学问题的解决,数学中熟知的分析法就不介绍了。

    数学中分析什么?分析的维度与角度

    多维度的分析:

    1.因果分析;

    2.矛盾(差异)分析,运用辩证法中的矛盾分析法分析问题中的矛盾;

    3.审美分析;

    4.特征分析,抽丝剥茧剖析问题中明显的和隐藏的或浮现的各种特征,包括题型特征分析、确定性分析、结构特征分析、属性特征分析,对属性特征分析,它又包含性质分析和关系分析。性质分析,研究数学对象具有哪些性质,例如分析函数的奇偶性、增减性。

    特征类型(分类)是较多的,每种特征类型都可以成为分析的对象,比较完整的特征类型,可以阅读文章:基于特征和模式驱动的解题策略

    5.情景分析,例如分析不等式等号成立的情况(成立性分析)、某些case的存在性分析。

    6.比较分析;和矛盾(差异)分析结合。

    7.态势分析。可以阅读本人今日头条文章数学解题思维过程中的和谐化局势分析法

    8.批判分析。在解题过程中或解题后对思维过程、试题、思路、解法、结果等进行评判、反思等。在解题过程中运用批判分析时,不只是要对有效的思路和解法进行批判,还要注意对失败的思路、失败的解法进行批判,找出失败的原因以便进行调整,特别是我们一种有效解法都还没有找到的时候。

    9.“变动方案”评判决策分析。解题的每一步都是变化,变化都是有成本和代价的,有时要对“变动方案”进行变动成本与收益分析,评估是否有利于问题态势好转从而便于解题。通过变动方案分析,有时可以得到可行的变动方案,或通过否定不靠谱的“变动方案”,最终得到可行的变动方和变化方向,或提高了最终所选择的变动方案的可行性。

    分析维度的选取原则

      1.通用和特有相结合的原则。

          通用:一般会进行因果分析、矛盾分析、结构特征分析、关系特征分析、题型特征分析。

          特有:具体问题具体分析,根据问题所属领域、问题类型、具体问题、知识经验等选取分析维度,例如对数论问题,合情地进行奇偶分析、取模(余数)分析,对函数进行函奇偶性、增减性分析等等。

      2.合情合理的原则。

      3.依靠直觉。

    分析之后的Action

      通过收集和分析得到问题中的信息之后,进行综合处理、升华对问题的认识,获得洞见和顿悟,哦,原来应该是这样。

    数学的析眼通

      只有对数学分析思维和分析法等方法有较为通透系统的认识和掌握,才拥有数学的析眼通。

    特征分析实战

    这里用一道强基题来阐述特征分析方法,解题方法为原创,本人不知道标准的解题方法。

    图1

    原创方法如下图2。

    图2

    如图2内容所示,通过性质特征分析,可以发现题目中的两个代数式均为零次齐次式,所以可令a+b-c=3,\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} -\frac{1}{c} =1将条件(a+b-c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} -\frac{1}{c} )=3中的a+b-c\frac{1}{a} +\frac{1}{b} -\frac{1}{c} 解耦。

    为何要解耦?因为(a+b-c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} -\frac{1}{c} )=3 展开后虽然可以消掉常数3,但感觉剩余式子比较复杂,所以避重就轻,将这个条件中的a+b-c、\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} -\frac{1}{c}解耦(拆开)为:a+b-c=3,\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} -\frac{1}{c} =1

    接下来根据代数式的结构特征,可相似联想到韦达定理,故构造一元3次方程,目的是为了对4次方进行降次。

    最后两个代数式相乘,其结构特征匹配柯西不等式,用柯西求出最小值。

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