辅助线是解决几何问题的常见技巧,但我们很少思考这个问题,为何传统几何问题依赖辅助线?
b站博主castelu的视频,给了我启发。本质上,传统几何的公理体系依赖于点线面之间的关系,如果这个关系不是那么直接,我们就需要借助中间人来牵头,这个中间人就是辅助线。也就是说,在传统几何中,工具限制了我们只能看到与我们直接相关联的元素,两个相距较远的元素,必须通过辅助线来“牵线搭桥”,间接寻求关联。
但这个辅助线的找法技巧性很强,两个元素之间有那么多可能的关联,每一个都是潜在的辅助线,如何找到这样一个合适的“桥梁”是一件挺困难的事情,有时候需要碰运气。解析几何的出现,把我们从碰运气的思想负担中解脱了出来,为我们提供了一个公共的桥梁 —— “坐标系”。
在解析几何中,所有元素都向坐标系看齐,这样就有了公共的基准,同时代数又提供了比几何公理更为强大的运算工具,能够更有力的解决问题。
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