向量外积的高中数学运用

作者: hk_shao | 来源:发表于2019-01-11 18:06 被阅读0次

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
如图，这是 $(2, 4) × (3, 0) = -12$ ，我们得到了一个实数 $-12$ ，而其绝对值为平行四边形面积。

如图，这是

运算定理

$\vec{a},b$ 均为向量， $θ$ 为 $\vec{a},b$ 的夹角

1， $\qquad\vec{a}\times \vec{b}=|\vec{a}| \times |\vec{b}|sinθ$

2， $\qquad\vec{a}\times \vec{b}=(l,m,n) \times (o,p,q)=(mq-np,no-lq,lp-mo)$

3， $\qquad\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b} \times a)$

运用1，已知三点坐标，求三角形面积

以任意一个点坐标为基准，做差得到两个向量，这两个向量可围成向量三角形
例如点 $A (a, b, c)$ ，点 $B (d, e, f)$ ，点 $C (g, h, i)$
得到向量 $\vec{p} = (d - a, e - b, f - c)$ 和 $\vec{q} = (g - a, h - b, i - c)$
使用公式2，然后取绝对值，得到三角形面积 $S = | \vec{p} \times \vec{q} | / 2$

空间向量外积求三角形面积可以很容易的推广到平面

令
$\ n = 0，q = 0$
则有
$\vec{a} ×\vec{b}= (l, m, 0) × (o, p, 0) = (0, 0, lp - mo)$
故
$S = |\vec{a}×\vec{b}| / 2 = | lp - mo | / 2$

三角形是最简单的几何图形，而在计算机领域求多边形面积是非常重要的，而用向量外积算出的有向面积，是解决求多边形面积的重要方法，它适用于凸多边形和凹多边形，非常灵活，简洁优美。

运用2，已知平面，求平面的法向量

找到平面内不共线的两向量 $\vec a,\vec b$ ，这两个向量决定了这个平面
使用公式2，得到向量 $\vec c$ ，按照向量外积的定义， $\vec c$ 垂直于 $\vec a,\vec b$
故所求向量 $\vec c$ 即平面的法向量

向量外积得到的法向量，有很多用途，尤其是物理上的，例如3D图像渲染在CG和游戏领域非常重要，而好的视觉效果多半取决于环境光的仿真，光的传播有一个最基本的定理，那就是光线与平面的法线所成的反射角等于入射角，而与利用向量外积求平面法线，是最简洁优美的。

运用3，求三棱锥体积

由三个不共面向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 所决定的平行六面体的体积为
$V=|\vec{a} \cdot ({\vec{b} \times} \vec{c})|=|\vec{b} \cdot ({\vec{a} \times} \vec{c})|=|\vec{c} \cdot ({\vec{a} \times} \vec{b})|$
故由三个不共面向量所决定的三棱锥的体积为 $V/6$

运用4，高中数学外挂

用它来做高中数学题简直就是开挂。

已知三点坐标，求三角形面积这个问题。按照高中数学的套路，无非就是两点间距离公式算三边长，然后要么用海伦公式算面积，要么用余弦定理求出余弦值，换成正弦值，再求面积，这两种方法海伦公式稍微简便一点，但无非都难算了一些。而使用向量外积则简洁优美，我直接算 $|\vec{a}×\vec{b}| / 2$ 的值就是面积了。

已知平面，求平面的法向量这个问题。按照高中数学的套路，无非找出平面内两个不共线向量 $a,b$ ，然后设平面的法向量 $\vec{c} = (x, y, z)$ 然后根据向量垂直 $\vec{c} \cdot\vec{a}= 0$ 和 $\vec{c} \cdot\vec{b}= 0$ 联立解得 $x,y,z$ 为含参的式子(因为一个平面的法向量有无数个)，最后取一个容易计算的法向量。而使用向量外积，那就更简单了， $\vec{a} × b$ 就搞定。