周末在家，有同事在微信群里发了一道几何题，大家纷纷跃跃欲试。这道标明为初中水平的平面几何题几乎就像之前一道标榜为小学五星题一样，扯动我们的神经，将那些曾经读书解题的日子勾回脑海中。话不多说，先上题：
图1.png
如上图所示，ABCD为正方形，N为AB上任意一点，NM＝MC，AM＝MF，CD＝CE，求证：
1>AM垂直于MF；
2>AN/DF=√2（注：这里是根号2）；
第一问相对比较简单，只是证明一个垂直关系。我们注意到M是NC的中点，那么过M点做AD的垂线，交AD于G点，则MG垂直平分AD，那么可以推出MA＝MD。根据等腰三角形底角相等，<MAD=<MDA,<MDF=<MFD,然而<ADF=<ADC+<CDF=135度。由于四边形的内角之和为360度，这样<AMF = 360-<ADF-<MAD-<MDF=360-135*2=90,从而AM垂直于MF。
2.png
然而第二问就没有那么顺利了，现在还没有找到纯几何解法。
虽然说初中生可能还没学向量和解析几何，不过第二问确实可以用解析几何加向量算出来。
我们来建立坐标系，令A为点（0，1）则C为（1，0），E为（2，0），D为（1，1）。
令N为（0，x），则M为（0.5，0.5x）。
令F横坐标为y，则由于F点位于DE上，所以F的坐标为（y，2-y）。这样由于向量AM为（0.5, 0.5x-1）,向量MF为（y－0.5，2-y-0.5x）。由于AM垂直于MF，所以AM＊MF＝0；这样我们得到方程：
0.5（y-0.5）+(0.5x-1)(2-y-0.5x)=0;
通过简化这个方程式，我们可以得到y与x的关系：
y ＝ （xx-6x+9）/(6-2x);
再来看AN／DF，向量AN为（0，1-x），向量DF为（y－1，1-y）那么：
AN＊AN／DF＊DF ＝ (1-x)(1-x)/(2(1－y)(1-y));
代入上式y与x的关系，得出1-y = 1/(2(1-x))
从而AN＊AN／DF＊DF ＝ 2，亦即
AN/DF=√2
这道题面由于正方形和中点M的缘故，充满了对称美。虽然点N可以在AB上自由移动，但是，对应的点F也会相应的移动。在运动中两者相互影响，于变化中蕴含着不变。
这道题的纯几何解法想必更加优美，如有擅长几何解题之人幸遇之，不妨留下答案～
网友评论