随机变量及其分布

随机变量及其分布列是高考中的常考知识点，主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值、方差的概念，重点考查n次独立重复试验的模型及二项分布，往往涉及古典概型、二项式定理等内容，其难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖．在高考中主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.

类型一 离散型随机变量的分布列的求法

离散型随机变量的分布列的求法

使用情景：离散型随机变量的分布列的求法
解题步骤：

第一步 明确随机变量可能取哪些值；
第二步 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；
第三步 按要求画出其分布列即可.
例1在研究塞卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现症状的情况，做接种试验，试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现症状的概率为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关．

（1）若出现症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；

（2）若在一个接种周期内出现2次或3次症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期，设接种试验持续的接种周期数为，求的分布列及数学期望．

【答案】（1）（2）
【解析】
试题解析：（1）试验至多持续一个接种周期的概率 …5分
（2）随机变量设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则

分

所以的分布列为：

10分
的数学期望分
考点：互斥事件概率，概率分布及数学期望

【总结】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率;

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

类型二 超几何分布问题的求解

超几何分布问题的求解

使用情景：超几何分布的实际应用
解题步骤：第一步 分析题意，写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否属于古典概型；
第二步 运用古典概型的计算概率公式计算随机变量所有取值所对应的概率；
第三步 画出随机变量的分布列并得出结论.

例2. 道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：
（Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；
（Ⅱ）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义；
（Ⅲ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的．依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率．（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议．
【答案】（1），25%；（2）分布列详见解析，；（3）详见解析.

【解析】（1）由题意知检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，违法驾车的频率为，醉酒驾车占违法驾车总量的百分数为%=25%

(2)解：设取到醉酒驾车的人数为随机变量，则可能取到的值有

.则分布列如下：

实际意义：在抽取的两人中平均含有0.5个醉酒驾车人员。

（3）被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故，由相互独立事件同时发生的概率得到

一句话倡议：远离酒驾，珍爱生命

【总结】考查主要考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，由题意知检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，违法驾车发生的频率为，醉酒驾车占违法驾车总数的百分数为%；第二问，由题意得到醉酒驾车的人数为随机变量ξ，从违法驾车的8人中抽取2人，8人中最多有2人醉驾，得到ξ可能取到的值有0，1，2，根据古典概型概率公式得到结果；第三问，被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的对立事件是没有人发生交通事故，由相互独立事件同时发生的概率和对立事件的概率得到要求的概率.

类型三 二项分布问题的求解

二项分布问题的求解

使用情景：二项分布的实际应用
解题步骤：

第一步 首先写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否是独立重复试验；
第二步 运用二项分布随机变量所对应的各自的概率；
第三步 画出分布列表即可得出结论.

例3．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．
（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.

【解析】（1）记”该产品不能销售“为时间,则所以，该产品不能销售的概率为

（2)由已知可知X的取值为-320，-200，-80，40，160

所以X的分布列为

【总结】本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力，属于中档题．第一问，记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；第二问，由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．