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随机变量及其分布新教材回顾200515

随机变量及其分布新教材回顾200515

作者: 椰子数学 | 来源:发表于2020-05-15 17:42 被阅读0次

2.1离散型随机变量及其分布

2.1.1离散型随机变量

随机变量:随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量。随机变量常用字母X,Y,等表示。
离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量。(discrete random variable)

2.1.2离散型随机变量的分布列

1、离散型随机变量分布列表示方法
离散型随机变量分布列
也用等式表示:P(X=x)=p,i=1,2,...,n
还可以用图像表示
图像表示分布列
2、两点分布
两点分布

若随机变量X的分布列具有表2-3的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率

3、超几何分布
超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则
P(X=k)=, k=0,1,2,...,m,
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N

2.2二项分布及其应用

2.2.1条件概率

一般地,设A、B为两个时间,且P(A)>0,称
P(B|A)=\frac {P(AB)}{P(A)}
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(conditional probability)
P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率
0≤P(B|A)≤1

如果B和C是两个互斥事件,则:
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)

2.2.2事件的相互独立性

设A.B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)

2.2.3独立重复试验与二项分布

一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次实验中事件A发生的概率为p,则
P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n
此时称随机变量X服从二项分布(binomial distribution)
记作X…B(n,p),并称p为成功概率

2.3离散型随机变量的均值与方差

2.3.1离散型随机变量的均值

加权平均:权是秤锤,权数是起权衡轻重作用的数值,加权平均是指在计算若干个数量的平均数时,考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同,分别给予不同的权数。

一般地,若离散型随机变量X的分布列为

分布列
则称 E(X)=
为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),它反映了离散型随机变量取值的平均水平

引申公式:E(ax+b)=aE(X)+b

一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么:
E(X)=1p+0(1-p)=p
于是有,若X服从两点分布,则E(X)=P
如果X…B(n,p),那么由kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}

若X-B(n,p),则E(X)=np

2.3.2离散型随机变量的方差
三个公式:
若X服从两点分布,则D(X)=P(1-P)
若X—B(n,P),则D(X)=np(1-p)
D(aX+b)=a^2D(X)

2.4正态分布


正态分布函数 image.png
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