Gravity as average of CFT

最近一个比较有趣的问题是有关3维引力的：我们能求解这个引力理论吗？这里的求解并不是解爱因斯坦方程，而是说能不能求出partition function，或者说是Eucliean
path integral。正确的做法应该是，先把path integral 依据不同的拓扑进行展开，然后在每一个给定的拓扑下对可能的metric进行积分。这样的积分当然是发散的，所以这个path integral一般也是求不出来的。但是对于2维引力，这个积分是可以求出来的！从这个意义上来说，2D gravity （JT gravity）是可以解出来的。

对于2维引力，因为没有local 的自由度，所以对local metric积分是trivial的，我们需要考虑的贡献是来自不同的拓扑还有“boundary graviton”的贡献。类似于弦论的散射振幅，对拓扑的积分可以做genus 展开。这个展开正好可以与一个matrix model integral的genus 展开对应。而 boundary graviton的贡献是一个1-loop 贡献由Schwartzian action 给出。所以可以猜测JT gravity 等价于一个matrix model。对于matrix model，这个展开是一个微扰计算，matrix model 本身还有非微扰的贡献。如果我们把JT gravity 真正认同成这个matrix model，就需要同样考虑这些贡献，并且提供一个解释。JT gravity 的确可以提供这样的解释：他们来自于disconnect geometry还有multi-boundaries。也就是说，在JT gravity里，不是只有一个宇宙，还有考虑其他宇宙的存在，即使他们之间不相连。还有即使对于其中的一个宇宙，也要允许有很多的边界，在每一个边界上，我们还都要有一个Schwartzian action来自boundary graviton的贡献。这样，我们完成了这个JT gravity/Matrix model的对应同时在微扰和非微扰的层面。一个有趣的结论是，因为Matrix model是描述的一个系综理论，所以在这个对应下，JT gravity 不是和某个量子理论对应，而是和一个average of quantum mechanics 对应。

我们想把JT gravity/ average of quantum mechanics 推广到高维。比如是不是3维 gravity也是对应了一个average 而不是一个具体场论的呢？如果我们限制3D gravity到具有AdS 边界，用AdS/CFT的经验，我们是否可以期待 AdS3其实是对应某种average of CFT 呢？一个证据是，如果考虑minimal AdS3 就是不含物质场的 AdS3 引力理论，同样的进行path integral 的计算，在只考虑saddle point 近似的情况会发现，AdS3是不太可能对应一个具体的CFT 理论的。当然有可能saddle point的计算是不可靠的，但是在3维，虽然还是没有local 的自由度，对于local metric的积分还是trivial的，但是并不存在一个类似genus 展开那样自然的办法去count 不同topology带来的贡献。saddle point近似是一种妥协但是也是标准的处理手段：我们考虑所有的经典解还有在经典解附近fluctuation （boundary graviton）的贡献。在AdS3边界条件下，还有固定边界的genus 为 1的时候，经典解的集合是知道的（AdS3的一些quotient）。边界的genus为1的选取是因为我们要把路径积分理解为一个partition function。boundary graviton还是一个1-loop 的贡献等于Virasoro descendant of the identity (vacuum)。这些计算都是标准的，只不过极其复杂。不过一个结论就是，算出来的partition function说明能谱有连续的部分，并且有负的部分，这不太能对应一个我们熟悉的CFT。

既然直接进行path integral 的计算没有好的办法，我们或许可以反过来看：如果我们对一些CFT求平均得到的结果是否有一个gravity 的解释。最近的研究发现这是可能的。这里的技术问题就是怎样做这个average 。比如我们要取什么样的概率分布（measure）？目前的例子可以计算是因为选取的CFT可以被实现成一个coset model，他的moduli自然带有一个measure。但是一个代价是得到的引力理论并不是Einstein 理论而是一个Chern-Simons theory. 还是有很多问题需要考虑的，首先就是如何更合理的定义average for CFT，是不是可以像matrix model那样得到一个完整的理论，才能尝试求解。