概率论与数理统计基础-1

作者: yi_zhe | 来源:发表于2019-05-16 09:24 被阅读0次

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概率论与数理统计主要研究五个大问题

如何处理复杂事件 $p(A)$
如何求分布函数 $F(x)$ ; $F(x,y)$
如何求数字特征
1. 数学期望 $E(x)$
2. 方差 $D(x)$
3. 协方差 $Cov(X, Y)$ , 两个随机变量之间的偏差程度
4. 相关系数 $\rho_{xy}$ , 两个随机变量的线性相关程度
如何使用极限定理(大样本)
如何做估计与评价

如何处理复杂事件

基本概念

1. 随机试验与样本空间

随机试验 $E$
$\begin{cases} 同条件下可重复 \\ 试验结果是明确可知且不只一个 \\ 试验前不知哪个结果会发生 \\ \end{cases}$
几个基本概念
- 试验结果中每一个最简单最基本(不可再分)的结果叫做样本点(基本事件), 记作 $\omega$ . 比如掷骰子，出现6点是一个基本事件, 而出现偶数点就不是基本事件.
- $\omega$ 的全体叫样本空间, 记作 $\Omega$
- 样本空间的子集叫随机事件, 使用英文的大写字母进行表示, 如 $A$ , $B$ , $C$ , ...
- 在一次试验中 $\Omega$ 叫做必然事件, $\emptyset$ 叫做不可能事件

2. 古典概型

若随机试验的样本空间中, 样本点是有限个, 并且样本点发生具有等可能性称其为古典概型.则:
$P(A)=\frac {A中含有样本点的个数} {\Omega中含有样本点的个数}$
注: 计数方法

穷举法
集合对应法
$\begin{cases} 加法原理: 完成一件事情有n类方法, 第一类中有m_1种办法, ... , 第n类中有m_n种办法, 则完成此事共有 \sum_{i=1}^n m_i 种办法 \\ 乘法原理: 完成一件事情有n个步骤, 第一步中有m_1种办法, ... , 第n步中有m_n种办法, 则完成此事共有 \prod_{i=1}^n m_i 中办法 \\ 排列: 从n个不同的元素中取出m个元素, 按照一定顺序排成一列, 叫排列, 所有排列的个数叫排列数, 记作A_n^m = \frac {n!} {(n-m)!}\\ 组合: 从n个不同的元素中取出m个元素, 并成一组, 叫组合, 所有的组合的个数叫组合数, 记作C_n^m = \frac {n!} {m!(n-m)!}\\ \end{cases}$
对立事件思想-若研究 $A$ 是复杂的, 则转而研究 $\overline{A}$ , $n = n - n_\overline{A}$

例1. 从0-9十个数字中, 任取3个不同的数字, 求 $A_1$ ={三个数中不含0和5}, $A_2$ ={三个数中不含0或5}, $A_3$ ={三个数中含0但不含5}
$P(A_1)=\frac {C_8^3} {C_{10}^3}=\frac 7 {15}$
$P(A_2)=\frac {C_{10}^3 - C_1^1C_1^1C_8^1} {C_{10}^3}=\frac {14} {15}$
$P(A_3)=\frac {C_1^1C_8^2} {C_{10}^3}=\frac {7} {30}$

例2. 袋中5球, 3白2黑

先后有放回取2球
先后无放回取2球
任取2球

求 $P(A)=P(至少一个白球)$

$P(A)=1 - \frac 2 5 * \frac 2 5=\frac {21} {25}$
$P(A)=1 - \frac 2 5 * \frac 1 4=\frac 9 {10}$
$P(A)=1 - \frac {C_2^2} {C_5^2}=\frac 9 {10}$

注: 先后无放回和任取概率是一样的
$\frac {C_5^1C_4^1-C_2^1C_1^1} {C_5^1C_4^1}=\frac {C_5^2-C_2^2} {C_5^2} \impliedby 1 - \frac {C_2^1C_1^1} {C_5^1C_4^1}=1-\frac {C_2^2} {C_5^2} \impliedby \frac {C_2^1C_1^1} {C_5^1C_4^1}=\frac {C_2^2} {C_5^2} \impliedby \frac {C_2^1C_1^1} {C_5^1C_4^1}=\frac {C_2^2A_2^2} {C_5^2A_2^2}$

例3. 袋中100个球, 40个白, 60个黑

先后无放回取20个, 求 $P(15白5黑)$
先后无放回取20个, 求 $P(第20次取白)$
先后有放回取20个, 求 $P(15白5黑)$
先后有放回取20个, 求 $P(第20次取白)$

解答

$P(15白5黑)=\frac {C_{40}^{15}C_{60}^{5}} {C_{100}^{20}}$
- 理解1: 按概率摸球, 每一次无放回摸球看见白球的概率都是0.4
- 理解2: 盐水, 第一勺和最后一勺都是盐水
$P(15白5黑)=\frac {C_{20}^{15}{40}^{15}{60}^{5}} {{100}^{20}}$
$P(第20次取白)=\frac {C_{40}^1} {C_{100}^1}$

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