RSA 简介

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RSA是一种非对称性加密算法，现在算是最具有影响力的算法，简单来说RSA运用了"一个大整数进行因式分解具备一定的难度"这个数学知识来进行加密，对一个极大整数做因式分解越难，那么想要破解加密过后的密码就越难。在讲RSA算法之前，先要学习几个知识点，下面会一一讲解。

整数因子

如果一个整数N能被负N到N之间（包括负N和N）中的整数整除，那么这个数就是这个整数的整数因子

举个栗子：求4的因子
能将4整除的有-4，-1，-2，1，2，4 那么4的因子就是 {-4，-1，-2，1，2，4 }

公因子

一个整数的因子集合A和另一个整数的因子集合B存在交集（A∩B），那么这个交集里面的元素就是这两个整数的公因子

也举个栗子：求4和6的公因子。
上面已经算出了4的因子集合（A），即{-4，-1，-2，1，2，4 }，6也可以算出来，这里直接给出答案，6的因子集合(B)
是{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}
那么A和B的交集(A∩B)C={-2,-1,1,2},集合C就是4和6的公因子。

互质关系

如果两个整数除了1以外没有其它公因子，那么我们就称这两个整数有互质关系(不考虑公因子为负数的情况)

例子：证明9和10是否是互质关系。
首先，先要求出9和10的公因子，这里不进行一步步计算，看官可以通过上述的知识点自己算算，看是否与下面数据相同 9的因子集合A为{-9,-3,-1,1,3,9}
10的因子集合B为{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10}
那么9和10的公因子A∩B={-1,1},而证明互质关系不考虑负数的情况，所以公因子为{1}
所以9和10是互质关系。
（PS：两个素数（质数）都是可以为互质关系）

欧拉函数

欧拉函数可以用来解决"给定任意一个整数N，那么小于N或等于N的整数中，有几个和N是互质关系"，可表示为φ(N)

例子：φ(8)是多少
在小于或等于8之中，只有1,3,5,7和8是互质关系，所以φ(8)={1,3,5,7}=4

这里只需要知道几个知识点就够了，没必要把欧拉函数全部给理解了。
第一个：
是当整数N为素数(质数)的时候，那么φ(N)=N-1。 为什么呢？因为素数的定义是除1和自身以外，不存在因子。所以N除自己以外，都是和N是互质关系。即N-1。

第二个是：如果这个整数N可以用两个素数相乘得到，即N=P1*P2，那么φ(N)=φ(P1 * P2)=φ(P1)φ(P2),证明这个式子需要用到“中国剩余定理”，这里不进行证明，知道就行。

欧拉定理

当两个整数A,B是互质关系的时候，那么A的φ(A)次方除于N除余必然是一

图片来自百度百科

例子：求9和10
φ(9)=6；
φ(10)=4；
那么9的φ(9)次方为 9^6=531441,然后531441除于10为53144余1。

这个公式也不进行证明，只需要记住结论就好了。

模反元素

如果两个整数A和B为互质的话，必然存在一个C，使得AC除于B余1，那么C就是A的模反元素

在这里插入图片描述

例如：证明整数5和11，5的模反元素是9
因为5*9-1为44，而44正可以给11整除，所以9是5的模反元素。

到这里，基本知识点就学完了，下面学习RAS的加密过程

1.选取两个较大的质数，求乘积N

这里我选取41和43，那么乘积N=41*43=1763，N的长度就是密钥的长度，1763转换成二进制是11011100011，11位，所以密钥的长度就是11位。
（PS：一般来说RSA密钥的长度为1024位，重要的话为2048位）

2.算出φ(N)

因为N是由两个质数相乘得到，根据上面欧拉函数的知识点，那么φ(N)=φ(P1P2)=（41-1）(43-1)=40*42=1680

3.选取一个e，e的范围是1<e<φ(N),并且和φ(N)是互质关系

这里选取17作为e（PS：一般1024位或2048位会用65537作为e）

4.算出e和φ(N)，e的模反元素，也就是要满足　ed ≡ 1 (mod φ(n))

把上面公式转换下可以变成ed-1=φ(n)k （d为模反元素，k为φ(n)的倍数）
然后转化成一元二次方程式：ed+φ(n)k =1，可以通过扩展欧几里得算法来算出d和k，扩展欧几里得算法是辗转相除法得进化版。
我这里使用C语言求出d和k

C语言

这里得出<kbd>d=593，k= - 6</kbd>，所以593就是e和.φ(N)，e的模反元素。 到这里，全部基础计算就结束了，接下来，是使用这些基础来进行RSA的加密。

挑选作为私钥和公钥的数字.

在RSA中，d(e的模反元素)是至关重要的，如果d暴露了，那么RSA的破解就变得很容易了，这里选用（N，d）作为私钥，（N，e）作为公钥 公钥：（1763，17） 私钥：（1763，593）

那么在知道公钥N和e的情况下，能否算出d呢？

上面含有d的公式是<kbd>ed=φ(N)k+1,那么，想要知道d，那么必须知道φ(N)，而φ(N)=φ(P1*P2)
这里有两种情况。

1.知道P1和P2

这种情况不太可能，除非是参与了设计RSA加密的人员，emmmm那么问题来了,自己破解自家的加密？而且一般来说，设计P1和P2的数会很大，而不是像我举例的41和43那样。

图来自阮一峰的文章

2.将N因式分解（即暴力破解）

这里就解释了为什么RSA会运用"一个大整数进行因式分解具备一定的难度"这种问题来进行加密，如果要破解的话，没有一台计算力强的机器是不可能破解的。

加密公式 C=M^e (mod N) 或者是 C=M ^E-NK

m代表明文，e和N是我们上面求出来的，K是N的倍数，目的就是要算出c

解密公式 C^d ≡ M (mod N)或者 M=C ^d-NK

C是加密过后的数字，N和d在上面已经求出，K是N的倍数，目的就是要算出M

至于为什么加密要采用这条公式，我也不太清楚，如果有人知道，望告知，而解密公式为什么可以正确的算出M呢？这个可以看下面阮一锋大大的文章。

参考文章：

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html