日经题(2)

刷知乎的时候看到的，别人甜甜的恋爱

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这题其实很简单，就是很常规的有理代数分式的积分

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{1+x^3}\\ =&\dfrac{1}{(1+x)(1-x+x^2)}\\ =&\dfrac{1}{3(1+x)}-\dfrac{x-2}{3(1-x+x^2)}\\ =&\dfrac{1}{3(1+x)}-\dfrac{2x-1}{6(x^2-x+1)}+\dfrac{1}{2(x^2-x+1)} \end{aligned}$

因式分解完后直接积分得到原函数
$\begin{aligned} &\int\dfrac{\text{d}x}{1+x^3}\\ =&\dfrac{1}{3}\ln(1+x)-\dfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\dfrac{\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+C \end{aligned}$

得到原函数后，轻松得到结果
$\begin{aligned} &\int_0^1\dfrac{\text{d}x}{1+x^3}=\dfrac{1}{9}(\sqrt{3}\pi+3 \ln2) \end{aligned}$

所以小祖宗应该回答：给爷爬

来证明自己的清醒
一般只有喝醉的人才会一直想证明自己清醒

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