2019-04-16

# 第一章 微分

## 1.0绪论

### 何为导数？

- 几何解释：函数切线的斜率

- 物理解释：变化率

### 如何求解任意函数的导数

例如求解$$\left. \frac{d}{dx} \right.{\rm e^{arctanx}}$$=?

## 1.1  导数与变化率

### 几何解释

如何求解$y = f(x)$在$P(x_0,y_0)$处的切线？


$P(x_0,f(x_0))$在函数$y = f(x)$的切线是$y-y_0 = m(x-x_0)$,我们定义这一切线的斜率$m$就是函数y = f(x)在$P(x_0,f(x_0))$处的导数，记为$f(x{\prime})$


以图中PQ为例，我们如何定义函数在某点的切线呢？P,Q是函数的一条割线，当Δx无限接近于零时，这条割线也越接近于这个函数在这点的切线，所有切线便是这条割线的极限形式，这条割线的斜率$k = \frac{\Delta f}{\Delta x}$取极限便是函数的导数$f(x_0\prime)=lim_{\Delta x_\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$


## 例题1

求$f(x) = \frac{1}{x}$ 的导数

利用定义，先求

$$

\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{\frac{1}{x +\Delta x} -\frac{1}{x}}{\Delta x}=^{}\frac{\frac{x-(x+\Delta x)}{(x+\Delta x)x}}{\Delta x} = \frac{x-(x+\Delta x)}{(x+\Delta x)*{\Delta x}*x} = \frac{-\Delta x}{(x+\Delta x)*{\Delta x}*x} = -\frac{1}{(x+\Delta x)*x}

$$

使$取极限\Delta x 取极限$则求得该函数的导数

$$

f(x_0\prime)=lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = lim_{\Delta x\to0}

-\frac{1}{(x+\Delta x)*x} = - \frac{1}{x^2}

$$

## 例题2

求$y = \frac{1}{x}$的切线于坐标轴围城的三角形的面积


- 首先找到切线的函数表达式

- 函数在点$P(x_0,y_0)$的切线公式是$y-y_0 = f(x\prime)(x-x_0)$

- 在本题中切线公式是$y - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(x-x_0)$

- 求得切线和坐标轴的交点，以确定三角形的底与高

- 将x=0带入切线公式，求得$y = \frac{2}{x_0}$

- 同理将y=0带入切线公式，求得$x = 2x_0$

- 三角形面积$S=\frac{1}{2} xy = \frac{1}{2}*{2x_0}*{\frac{2}{x_0}} = 2$

### 函数的符号

$f\prime = \frac{\rm d f}{\rm d x} =  \frac{\rm d y}{\rm d x} =  \frac{\rm d }{\rm d x }f = \frac{\rm d }{\rm d x} y  $

这些符号都是等价的

### 例题3

**求$f(x) = x^n,n=1,2,3....$的导数**

$\frac{\rm d }{\rm d x} x^n  $

先求得 $\frac{\Delta f }{\Delta x} $

$$

\frac{\Delta f }{\Delta x} = \frac{{(x+\Delta x)}^n - x^n}{\Delta x} =_{二项式定理}\frac{{(x^n+n*x^{n-1}*\Delta x+O(\Delta x^2))} - x^n}{\Delta x} =n*x^{n-1}+O(\Delta x)

$$

取极限得

$$

\frac{\rm d }{\rm d x} x^n  = lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x} = n*x^{n-1}

$$

#### 导数的意义

- **切线的斜率**

- **瞬时变化率**


将$\Delta y$ 看作位置变化,$\Delta x$看作时间变化的话，那么$\frac{\Delta y}{\Delta x }$表示位置的平均变化率，即平均速度，而$\frac{\rm  d y}{\rm dx}$则表示位置的瞬时变化率，瞬时速度

### 其他物理例子：

1. \$q$表示电荷，表示电荷，$\frac{\rm d q}{\rm d t}$表示电流

2. s表示距离，$\frac{\rm d s}{\rm d t}$表示速率

  ### 例题：mit大楼扔南瓜，已知楼高80m，求南瓜落地的瞬时速率，平均速率？

  

  由物理公式得，南瓜与地面的距离h的公式如下

  $$

  h = 80 - 5*t^2\\

  t=0\quad h=80\\

  t=4\quad h=0

  平均速度\\

  v_{平均} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{0-80}{4-0} = -20 m/s

  $$

  如何求得南瓜落地的速度？

  $$

  \frac{d}{d t}h = \frac{d}{d t}{(80-5t^2)} \\

  由上节课公式

  \frac{\rm d }{\rm d x} x^n  = lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x} = n*x^{n-1}

  得\\

  \frac{d}{d t}80 = 0 \\

  \frac{d}{d t}(t^2) = 2t\\

  故 \frac{d}{d t}h = \frac{d}{d t}{(80-5t^2)} = -10t

  将t=4带入得 v = \frac{d}{d t}h = -10*4= -40m/s

  \\即他的速度为40m/s且方向向下

  $$

3. T=温度,$\frac{d T}{d x}$表示温度梯度

4. 测量零密度：GPS

  

h通过无限波反射的时间与距离得到，L则可以通过通过与监测点的电磁反射时间得到

h存在偏差称位$\Delta h$

$\Delta L $与$\Delta h$的比值$\frac{\Delta L}{\Delta h}$可以通过他们的微分近似得到$\frac{d L}{d h}$