第1章  0的故事

按位计数法：

例：

5000的分解

5是个数，10是基数或底，3是指数。

10进制转换为2进制称为基数转换。

2进制和10进制的优缺点：

1.在10进制计数法中，位数少，但是数字的种类多。

人类有10根指头，要靠直觉来把握数字的大小，对人类来说，这种比较易用。

2.在2进制计数法中，数字的种类少，但是数位多。

计算机处理的数字种类少、计算规则相对简单，对计算机来说，这种比较易用。

非按位计数法：如罗马计数法，最主要的特征是没有0

指数法则：

指数法则表达式

10的0次方是什么？10的2次方是‘2个10相乘’，那么10的0次方不就是‘0个10相乘’吗？这样的话，不应该是1，而是0吧？

寻找它们的规律

我们发现指数每减1，数字就变为原来的10分之1。可以推导出？为1.10的1-次方顺便也可以推导出来是1/10。

0的作用： 

在按位计数法中，数位具有很重要的意愿。比如十位的数‘没有’，也不能不写数字，0的作用就是占位。

为什么人类要发明计数法呢？

数越大越难处理，方法就是将大问题分解为小‘单元’。

第2章  逻辑

逻辑：消除自然语言的歧义、严密准确地记述事物的工具。

生活中的自然语言歧义例子：12月份或者低于10°的时候打开暖气。小明在北京或者上海。

同样的‘或者’，不一样的意思。第一个或者没有排他性，12月份并且低于10°还是会打开暖气。而小明在北京就没法同时在上海。

在遇到大问题时，通常将其分解为多个小问题。这时常用的方法就是检查它的完整性（没有遗漏）和排他性（没有重复）。

图表能帮我们更好的理解事物的逻辑关系，常用的有逻辑表达式、真值表、文氏图、卡诺图。

第3章  余数

运用余数，大数字的问题就能简化为小数字的问题。

人们只要发现了周期性和奇偶性，就能将大问题转换为小问题来解决。

本章例子，100天后星期几问题、草鞋铺设问题、格尼斯七桥问题。

第4章  数学归纳法

数学归纳法：证明有关整数的断言对于0以上的所有整数是否成立所用的方法。

步骤1：证明“P（0）成立”。

步骤2：证明不论k为0以上的哪个整数，“若P（k）成立，则P（k+1）也成立”。

用人话说就是：先证明一条腿可以往前迈一步，然后证明另一条腿无论什么情况都能迈出去，最终证明人可以到达无限的远方，这就是数学归纳法。可以想象多米诺骨牌。

第5章  排列组合

置换：将n个事物按顺序进行排列的总数。

阶乘

排列：从n个事物中取出k个进行排列的总数。

排列总数

组合：从n个事物中取出k个进行排列，并且不考虑顺序的总数。

组合公式

公式的意思，先考虑顺序进行计数，然后除以重复度。

排列=置换*组合，例如：有ABCDE5张牌，3张的置换*从5张取3张的组合=从5张中取3张的排列。

第6章  递归

在计算机编程里，递归指的是一个过程：函数不断引用自身，直到引用的对象已知。

递归的条件：

1. 子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单；

2. 不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。

递归和归纳，只是方向不同。“从一般性前提推出个别性结论”的是递归（recursive）的思想。而“从个别性前提推出一般性理论”的是归纳（inductive）的思想。

编程时会遇到的递归结构，如程序源代码缩进、树形数据结构、XML语法、快速排序算法等。

递归的要点在于把握结构，分解问题。

第7章  指数爆炸

指数的概念：在乘方a中，其中的a叫做底数，n叫做指数，结果叫幂。

f(x)=a^x (a为常数，x为指数) 随着x单位长度的递增，f(x)会呈“爆炸性”增长

a=2时的指数图形

二分法就是指数爆炸思想的反向实施。

处理指数爆炸的4种方法：1.极力求解2.变相求解3.近似求解4.概率求解

第8章   不可解问题

停机问题，无限循环等。