浮点数简述

背景

我们都知道计算机内部存储和表示数据都是用二进制来表示的，所以当你想表示一个浮点数的时候，很自然的就是跟整数的二进制一样，只不过多了个小数点，如下所示：

= =

也就是每一位的权重都是对应的2的i次幂，也就是可以用如下公式表示：

但是这种表示方法有几种缺陷：

1. 小数部分只能表示符合 的数字，像 1/5 这种数字，只能无限接近

2. 在有限的长度内，比如32位或者64位，用这个表示方法很难表达很小以及很大的数

在1985年前，各个计算机厂商都有自己的浮点数表示和计算方法，并且大部分都不会把精确度放在第一位，更多的是考虑计算速度和实现上的方便。直到1985年，IEEE 才起草出版了 IEEE 754标准 ，统一了浮点数表示和计算方法。

IEEE 754标准

IEEE 754 标准是IEEE于1985年发布的关于浮点数计算的世界唯一通用标准，所有主流CPU都支持这个标准。

浮点数表示方法

1. 计算公式

+ 符号位 s 决定了该数是正数还是负数

+ 有效位 M 决定了小数部分的数值，数值范围为 [1.0, 2.0)

+ 指数位 E 表示2的幂次

2. 内存表示及解码规则

浮点数二进制表示

其中：

+ s 是符号位

+ exp 部分用来编码指数 E (但不等于 E)

+ frac 部分用来编码有效位 M (但不等于 M)

3. 32位和64位浮点数比较

+ 单精度 32位

数值大小

32位浮点数表示

+ 双精度 64位

数值大小

64位浮点数表示

浮点数类型

在浮点数表示中，E 是一个有符号int，是通过一个偏移量(bias)来计算和表示的，其中bias = , 其中k为exp的位数减1。比如单精度k为7，双精度k为10。

1. "Normalized"

当 exp 部分不全为0 并且不全为1时，表示该浮点数为 Normalized。

+ E 可通过公式计算：E = Exp - Bias

+ M 编码为：, 其中

   - xxx...xxx 为 frac部分

   - 最小值为M=1.0， 最大值是当frac=111.....1111 (M=2.0-)

   - 此时 M 部分自动带上前面的1

比如 ：

              

其中：E = Exp - Bias = 140 - 127 = 13

15213二进制表示

2. "Denormalized"

当 exp = 000...0 时，此时

+ E 可通过公式：E = 1 - Bias

+ M 可编码为：，其中

   - xxx.xxxx 为frac部分

+ 表示两种类型的数

   - exp = 00...000, frac = 000...0000, 表示0，-0和+0是不同的表示

   - exp = 00...000, frac 000...0000, 表示接近于0的数字

3. 特殊数字

当 exp = 111...111时

+ exp = 111...111, frac = 000...000

   - 表示无限数，用于处理计算溢出的情况，有正反符号

+ exp = 111.111, frac 000...000, 表示 NaN

浮点数计算注意事项

1. 浮点数相加和相乘并不符合数学四则运算的 结合律，比如

,    (大小数相加取整导致丢失精度)

 (1e20*1e20) * 1e-20= inf,       1e20 * (1e20*1e-20)= 1e20  (大数相乘导致溢出)

2. 浮点数相乘不符合数学四则运算的 分配律, 比如

  1e20 * (1e20-1e20)= 0.0, 1e20*1e20 – 1e20*1e20 = NaN