一、函数的连续性

定义：

（1）一点连续

设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义，如果

那么就称函数f(x)在点x0连续。

（2）闭区间连续

在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。

二、函数的间断点

（1）定义

设函数f(x)在点x0的某去心领域内有定义，在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：

在x=x0没有定义

虽在x=x0有定义，但l不存在

虽在x=x0有定义，且)存在，但)

那么函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。

（2）分类

第一类：存在f(a-0)、f(a+0)

当f(a-0)=f(a+0) （)时，a为可去间断点

当f(a-0) f(a+0)时，a为跳跃间断点。

第二类：f(a-0)、f(a+0)至少一个存在

无穷间断点和振荡间断点是第二类间断点。

三、闭区间上连续函数的性质

1.最大值与最小值定理

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值。

如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间不一定有最大值和最小值。

2.有界性

在闭区间上连续的函数在该区间有界。

如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间不一定有界。

3.零点定理

如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f（a）与f(b)异号，则开区间（a,b）内至少有一点ϑ，使

                f(ϑ)=0

4.介值定理

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

f(a)=A   及  f(b)=B

则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a,b）内至少有一点ϑ,使得

 f(ϑ)=C  (a<ϑ<b)

推论：在区间[a,b]上连续的函数f（x）的值域为闭区间[m,M]，其中m与M依次为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值。