js--数字精度与范围、位运算、逻辑运算

IEEE754的存储格式--64bit

• 求值方法：(-1)^S*(1.M)*2(E-1023)
• 64位，1位总的符号位S，11位阶码E（移码），53位尾数位M（原码），其中1位隐藏。
• 阶码用移码表示，主要控制小数点在尾数部分的跳转，11位阶码中，又有1位表示符号位，10位来表是数字，按无符号数来计算，原本可以表示0_{2047的数据，但除去阶码为全0、全1的情况，剩下可以表示1}2046种情况，移码偏置是+1023，所以所有从数位上换算出来的数字，都要 减去 1023，得到的才是阶码的真实值。真实值的范围是：-1022~1023。所以指数范围为2^-1022 ~ 2^1023。
  -尾数部分默认规格化后是1.xxx，1省略不写，主要控制小数部分的精确数字，是表示数字的主要部分。位数部分分为规格化和非规格化，范围比较复杂，下面再进行讨论。
• 表示0时，所有位数全为0
• 表示无穷大时，阶码全为1，尾数全为0，符号位指示是正无穷还是负无穷。

数值范围

浮点数

• 最小正浮点数： Number.MIN_VALUE = 5e-324。

• 解析： 这个值等价于(Math.pow(2,-52) ) * Math.pow(2,-1022) = Math.pow(2,-1074)。

  • 首先取阶码为最小值Math.pow(2,-1022)，这里不用多说。
  • 然后是取尾数为最小值，按照IEEE754的标准，尾数部分规格化以后隐含还有1位，最小值是1.0000....0001(小数后第52位为1，其他为0)，此时的最小值是1+Math.pow(2, -52)。但是其实IEEE754还有另外一条规则，规定当浮点数的指数为允许的最小指数值，尾数不必是规范化的。当作为非规格化数据时，尾数部分所能表达的最小值是Math.pow(2, -52)。因此这里所取的最小正尾数就是非规格化的数据。
  • 所以最后得到的最小正浮点数就是Math.pow(2,-1074)；
  • 补充：为了保存非规范浮点数，IEEE 标准采用了类似处理特殊值零时所采用的办法，即用特殊的指数域值 emin - 1 加以标记，而一般来说，阶码移码的偏置值都是emin+1，此时进行了emin-1+(emin+1)以后，阶码的值全为0，此时如果尾数为0且符号位也为0，则表示的值就是0；如果尾数不为0，表示的就是非规格化的数据。
    • 例： 想要表示0.0001 × 2^-125，表达为规范浮点数则为 1.0 × 2-129。问题在于其指数大于允许的最小指数值，所以无法保存为规范浮点数。此时可以保存为非规格化数据，先将阶码化为能表示的最小值，0.001 * 2 ^ -126，阶码经过-1处理为：-126 -1 +127 = 0。 尾数部分小数点左边的0要像规格化中的1一样省略，所以这个数据最终表示为（32bit形式）：0（符号位） 0000 0000（阶码） 0010 000000.....(剩余尾数部分全为0) = 0010 0000 （十六进制）

• 最大正浮点数： Number.MAX_VALUE = 1.7976931348623157e+308 。

• 解析：等价于 (Math.pow(2,53) - 1) * Math.pow(2,971)

• 首先看尾数部分，表示为最大值时是1.1111...111(小数点右边52个1)，在不考虑小数点带来的影响时，53个1的数据表示为(Math.pow(2,53) - 1)

• 然后看阶码部分，阶码所能表示的最大值是1023，但是为了让前面的尾数部分的小数点跳到有效值的最后，要让1023-52 = 971.所以阶码部分最大值为Math.pow(2,971)

• 所以最终的最大值为：(Math.pow(2,53) - 1) * Math.pow(2,971)

连续整数

• 最大正整数（连续且精确）：Math.pow(2, 53) =9007199254740992

• 解析：这里之所以没有减一，是因为这是浮点数，可以用阶码来控制小数点的跳转。

• 如果是Math.pow(2, 53) - 1，其表示为：

  • 尾数部分为53个1，所表示的值是1.11111....1( 小数点后52个1 )
  • 阶码部分要表示的值是52，加上偏置1023，结果是1075，表示为二进制是：100 0011 0011。
  • 所以最终这个值表示为 0 | 100 0011 0011 | 111111...111(52个1)

• 如果是Math.pow(2, 53)，其表示为：

  • 尾数部分为1.000...000（小数点后52个0）
  • 阶码部分要移53位，加上偏置值1023，结果是1076，表示为二进制是：100 0011 0100.
  • 所以最终这个值表示为 0 | 100 0011 0100 | 0000...000(52个0，小数点左边的1被默认省略)

• 因此，Math.pow(2, 53) 也是可以准确表示出来的，但如果大于Math.pow(2, 53) ，由于尾数部分不够位数来精确地指定某个值，就会发生四舍五入的情况，带来精度误差。

• 最小负整数（连续且精确）：Math.pow(2,-53) = -9007199254740992

• 解析：表示方法就是Math.pow(2,-53)的符号位为1。

  • 1 100 0011 0100 0000...000(52个0，小数点左边的1被默认省略)

但是还要注意，虽然我们确定Math.pow(2,-53) 和Math.pow(2,53) 都可以准确表示出来，但是在JS中的安全数还是要在这个基础上 减1

 Number.MAX_SAFE_INTEGER = 9007199254740991
 Number.MIN_SAFE_INTEGER = -9007199254740991

补充：

• 对于位运算，js仅支持32位整数，其中1位符号位，31位数字位。

• 32bit最大正整数：Math.pow(2, 31) - 1 =2147483647

• 32bit最小负整数：Math.pow(2, 31) = -2147483648

• 【个人觉得当做32位处理时，用的应该是补码】

• 位运算：

• ~ 按位非（NOT）

  • 包括符号位在内，按位取反。本质是：在原操作数上添加负号，再减1

• & 按位与（AND）

  • 包括符号位，用与逻辑运算。

• | 按位或（OR）

  • 包括符号位，用或逻辑运算。

• ^ 按位异或（XOR）

  • 包括符号位，相异为1，相同为0.

• << 左移

  • 左移不改变符号位，右边空缺补0.
  • 本质是原数乘以2的移位数次方。

• . >> 右移

  • 不改变符号位，即用符号位来填补左边出现的空缺。
  • 本质是原数除以2的移位数次方。

• . >>> 无符号右移

  • 不论正负，左边出现的空缺都用0来填补。

• || 或运算

  • 逻辑运算过后如果为true,取第一个为true的值，如果为false，取最后一个为false的值
  • 短路规则：var a = “” || null || 3 || 4 —-> var a = fasel || false || true || true 结果为true 则返回第一个true,即是3

• && 与运算

  • 逻辑运算过后如果为true，取最后一个为true的值，如果为false,取第一个为false的值
  • 短路规则：var b = 4 && 5 && null && 0 ——> var b = true && true && false && false 结果是false 则返回第一个false 即是null .

• 如果某次计算结果得到了一个超出javascript数值范围的值，这个值会自动转化成Infinity。（Number.NEGATIVE_INFINITY和Number.POSITIVE_INFINITY）

• 想要确定一个值是不是有穷的，可以使用 isFinite( num ) 函数。

• 想要确定一个值是不是NaN，可以使用isNaN( num )函数，但这里并不是只有NaN才会使得该函数返回true，任何对象以及非纯数字类型的字符串，都会使该函数返回true，真正判断一个数据是否是NaN的，是用 a==a来判断。如果是NaN，则返回false.