插板法

        插板法就是在n个元素间的n-1个空中插入b个板可以把n个元素分成b+1组的方法

应用插板法必须满足三个条件：

（1）这n个元素必须互不相异

（2）所分成的每一组至少分得一个元素

（3）分成的组别彼此相异

    举个很普通的例子来说明

把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

      问题的题干满足条件（1）（2）

    适用插板法，C9 2=36

下面通过几道题介绍下插板法的应用

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a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）

例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？

    3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？

    显然就是 C12 2=66

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例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

    我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ C8 2=28

b 添板插板法

例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？

      -o - o - o - o - o - o - o - o - o - o -

o表示10个小球，-表示空位

    11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空

  此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空

    则每一组都可能取球为空 C12 2=66

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例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？

    因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab

    显然a+b<=9 ,且a不为0

1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -

1代表9个1，-代表10个空位

    我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 C10 2=45

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例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？

    类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0

    1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -

    在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板

    设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有C11 3=165

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c 选板法

例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？

    o - o - o - o - o - o - o - o - o - o

o代表10个糖 -代表9块板

    10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉

    这样一共就是 2^9= 512啦

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d 分类插板

例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

    此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论

    最多吃5天，最少吃1天

1. 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况

2.吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10

3.吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28

4.吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20

    所以一共是 2+10+28+20=60 种

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e 二次插板法

例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？

    -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc

    可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位

    所以一共是 C7 1 x C8 1 × C9 1=504