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【概率论三】数理统计

【概率论三】数理统计

作者: 每天学习135个小时 | 来源:发表于2020-08-26 16:31 被阅读0次

数理统计

1. 三大抽样分布

\chi^2 分布 设 X_i\sim N(0,1), i=1,2,\cdots,n, 则
\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2
记为 \chi^2\sim\chi^2(n)

​ 性质

  • \chi^2 \sim\Gamma(\frac n2, \frac 12), 故具有可加性.

  • E\chi^2=n, D\chi^2=2n

t 分布 设 X\sim N(0,1), \chi\sim \chi^2(n), 且 X, Y 相互独立, 则
t = {X\over \sqrt{\chi(n)/n}}
记为 t\sim t(n)

​ 性质 t分布的密度函数是偶函数, 因此 Et=0

F 分布 \chi^2(m), \chi^2(n) 相互独立
F={\chi^2(m)/m \over \chi^2(n)/n}
记为 F\sim F(m,n)

​ 性质

  • F(m,n)={1\over F(n,m)}

  • F(1,n)=t^2(n)

2. 样本统计量 \overline X 与 S^2

定义 样本均值与样本方差

设 X_i ,i=1,2,\cdots,n 是独立同分布的随机变量. 记 \mu=EX_i, \sigma^2=DX_i. 样本均值与样本方差分别定义为
\overline X=\frac 1n \sum\limits_{i=1}^nX_i~~~~~~\\S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline X^2)\equiv \frac{1}{n-1}(\sum\limits_{i=1}^n X_i^2 -\overline{X}^2)
命题
\begin{align} E\overline X=\mu, &~~~D\overline X = \frac{\sigma^2}{n}\\ ES^2=\sigma^2, &~~~DS^2=\frac{2\sigma^4}{n-1} \end{align}
即 S^2 是 \sigma^2 的无偏估计.

证明 由于 X_i 相互独立, 利用 E(\sum\limits_{i=1}^n a_iX_i)=\sum\limits_{i=1}^n a_iEX_i 与 D(\sum\limits_{i=1}^n a_iX_i)=\sum\limits_{i=1}^n a_i^2DX_i, 立即可得 E\overline X=\mu, ~D\overline X = \frac{\sigma^2}{n}.

又由【3.抽样分布相关定理】中定理一, {(n-1)S^2\over\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), 有E{(n-1)S^2\over\sigma^2} = E\chi^2(n-1)=n-1, ~~D{(n-1)S^2\over\sigma^2} = D\chi^2(n-1)=2(n-1), 容易得到 ES^2=\sigma^2, ~~DS^2=\frac{2\sigma^4}{n-1}.~~\Box

3. 抽样分布相关定理

定理一 设 X_1,\cdots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2), 则

  1. \overline X \sim N(\mu, \frac {\sigma^2}{n}), 也即 \frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)
  2. {(n-1)S^2\over\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
  3. \overline X 与 S 相互独立

定理二 设 X_1,\cdots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2), 则

\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)

定理三 X_1,\cdots,X_{m}\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),~~ Y_1,\cdots,Y_{n}\sim N(\mu_2,\sigma_2^2), 且这两个样本相互独立, 则

  1. \frac{S_1^2/S^2_2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(m-1,n-1)

  2. 当 \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2 时,
    \frac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{s_w\sqrt{\frac1m + \frac 1n }}\sim t(m+n-2)
    其中 s_w^2=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}

4. 分布之间的关系

Exp(\lambda)=Ga(1,\lambda)

\chi^2(n)=Ga(\frac n2,\frac 12)

F(1,n)=t^2(n)

5. 可加性

定义 可加性 设 \mathrm D(\Theta) 为某一概率分布, \Theta\in \R^n, 且 X\sim D(\Theta_1), Y\sim D(\Theta_2), X 与 Y 相互独立. 若存在\Theta^*\in \mathbb R^n, 使得 X+Y\sim D(\Theta^*), 则称分布 D(\Theta) 具有可加性.

具有可加性的分布有: 正态分布, 泊松分布, 二项分布, 伽马分布, 卡方分布.

正态分布的可加性 X\sim N(\mu_1,\sigma^2), Y\sim B(\mu_2,\sigma^2) \implies Z=X+Y\sim B(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)

泊松分布的可加性 X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2) \implies Z=X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)

二项分布的可加性 X\sim B(n,p), Y\sim B(m,p) \implies Z=X+Y\sim B(n+m,p)

伽马分布的可加性 X\sim Ga(\alpha_1,\lambda), Y \sim Ga(\alpha_2,\lambda) \implies Z=X+Y \sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)

卡方分布的可加性 \chi_1\sim \chi(m),\chi_2\sim \chi(n) \implies \chi=\chi_1+\chi_2\sim \chi(m+n)

6. 参数估计与假设检验

矩估计

矩估计的核心思想为: 用样本矩估计总体矩. 其中

样本矩 A_l=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^l, 总体矩 E(X^l)

矩估计即为, \widehat{E(X^l)}=A_l

区间估计与假设检验

区间估计

对于给定的显著性水平 \alpha, P(a<\theta<b)=1-\alpha, 则 (a,b) 就是 \theta 的 1-\alpha 置信区间. 利用 \alpha 确定 a,b.

参数 \theta 的置信度为 1-\alpha 的置信区间为 (\hat \theta_L,\hat\theta_R), 其含义是, 区间 (\hat \theta_L,\hat\theta_R) 盖住 \theta 的概率(称为置信水平)为 1-\alpha.

例如, X_i \sim N(\mu,\sigma^2), 则 Z=\frac{\overline X- \mu} {\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1). 为估计 \mu, 有 1-\alpha = P(-z_\frac \alpha 2 \leqslant \frac{\overline X- \mu} {\sigma/\sqrt n} \leqslant z_\frac \alpha 2), \mu 的 1-\alpha 置信区间为 (\overline X- \frac{\sigma}{\sqrt n} z_\frac \alpha 2, \overline X+ \frac{\sigma}{\sqrt n}z_\frac \alpha 2). 注意此处为上侧 \alpha 分位数.

image-20200902120934058.png

假设检验

假设检验的思想: 如 \frac{\overline X- \mu} {\sigma/\sqrt n}, \overline X 与 \mu 的距离越大, 越倾向于被拒绝.

步骤: 写出拒绝域,判断架设之是否在拒绝域内. 例如, \mu, \sigma^2 均未知时, 求 H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0 的检验问题, t=\frac{\overline X- \mu} {S/\sqrt n}\sim t(n-1), 拒绝域为 |t|=|\frac{\overline X- \mu} {S/\sqrt n}|\geqslant t_{\alpha/2}(n-1).

第一类错误: 弃真
\alpha=P\{ 拒~绝~ H_0 | H_0 为~真~ \}
第二类错误: 取伪
\beta = P\{ 接~受~ H_0 | H_0 为~假~ \}

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