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有限群的置换结构

有限群的置换结构

作者: 东方胖 | 来源:发表于2024-09-20 20:10 被阅读0次

从群G上可以可以导出一些可逆映射集 I(G)
这些可逆映射很容易验证在映射的合成运算下构成群

在群 G 上考虑 自身的同构映射，同构映射是一种满足以下规则的可逆映射，
f(xy) = f(x)f(y)
G上的这种性质——有个名字叫做自同构 Aut(G)——的映射是 I(G)的子集,即
Aut(G) \subset I(G)

比如
在 (I_4, +) 上找出所有的自同构，I_4上的所有可逆映射，就是
在 S_4
步骤一般如下
1.首先弄清楚 S_4 的结构
2.从同构映射的几个关键性质枚举出所有的自同构

第一步,我们知道 S_4 有 4! = 24个元素
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 1 & 2 & 3 &4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3& 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} ...
第二步找出这24个映射中的同构映射，同构映射把单位元映射成单位元，那么 0^* 在 同构映射下的像是 0^*
这样固定 f(0^*) = 0^* 之后，只有 6 个置换满足。
同构映射把生成元变成生成元 ， I_4只有 1^*, 3^* ，I_4 = \{3^*, (3^*)^2, (3^*)^3, (3^*)^4\}
同构映射把 1^* 变成 3^* 或1^*
第一种，f 把1^*变成 1^*
f(2^*) = f(1^* + 1^*) = f(1^*) + f(1^*) = 1^* + 1^* = 2^*
同理可以推知 f(3^*) = 3^*, f(4^*) = 4^* ，此时 f 是个恒等映射
第二种，f 把1^* 变成 3^* ,此时
f(2^*) = f(1^* + 1^*) = f(1^*) + f(1^*) = 3^* + 3^* = 2^*
f(3^*) = f(2^* + 1^*) = f(2^*) + f(1^*) = 2^* + 3^* = 1^*
f(0^*) = 0^*
故 Aut(I_4) = \{i_G, (0^*, 3^*, 2^*, 1^*)\} 这是一个两阶的群。

从 G上可以依照下面的方法，导出一个左乘变换群
L = \{\lambda_a|a \in G\} ，其中 \lambda_a: x \rightarrow ax
\lambda_a 是一个可逆映射，它属于 I(G)
所以 L \subset I(G)

L 在映射合成运算下是一个群，即L 是 I(G) 的子群

S_3 导出的 L

L=\{(1), (1 2)(3 6)(4 5), (1 3)(2 5)(4 6), (1 5 6)(2 3 4), (1 6 5)(2 4 3), (1 4)(2 6)(3 5)\}
构造同构映射 \sigma: S_3 \rightarrow L
S_3 = \{(1), (1, 2), (1, 3), (2, 3),(1, 2, 3), (1, 3, 2)\}
\begin{align} \sigma((1)) = (1) \\ \sigma((1, 2, 3)) = (1,5,6)(2,3,4) \\ \sigma((1, 3, 2)) = (1,6,5)(2,4,3) \\ \sigma((1,3)) = (1,3)(2,5)(4,6) \\ \sigma((1,2)) = (1,2)(3,6)(4,5) \\ \sigma((2,3)) = (1,4)(2,6)(3,5) \end{align}
\sigma 是一个同构映射，可以逐一验证 \sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y)

上面的例子总结出一个关于群结构的重要结论
任意的群同构于从该群上导出的左乘变换构成的群
比如S_3 同构于从 S_3 上的导出的左乘变换群

这样，搞清楚一个群的结构，提供了一个从侧面进攻的线路——即我们先把群的导出的左乘变换群看清楚，原来的群的结构也就清楚了。

说的更一般即是凯利定理——每一个群都同构于群上的可逆变换构成的群的一个子群（这个子群自然就是左乘变换形成的子群，当然也可以是右乘变换构成的子群）
有限群的可逆变换可以转换为置换S_n 所以有限群往往都可以转为置换的结构来考虑

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