有限群的置换结构

作者: 东方胖 | 来源:发表于2024-09-20 20:10 被阅读0次

从群G上可以可以导出一些可逆映射集 $I(G)$
这些可逆映射很容易验证在映射的合成运算下构成群

在群 G 上考虑自身的同构映射，同构映射是一种满足以下规则的可逆映射，
$f(xy) = f(x)f(y)$
G上的这种性质——有个名字叫做自同构 $Aut(G)$ ——的映射是 $I(G)$ 的子集,即
$Aut(G) \subset I(G)$

比如
在 $(I_4, +)$ 上找出所有的自同构， $I_4$ 上的所有可逆映射，就是
在 $S_4$
步骤一般如下
1.首先弄清楚 $S_4$ 的结构
2.从同构映射的几个关键性质枚举出所有的自同构

第一步,我们知道 $S_4$ 有 $4! = 24$ 个元素
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 1 & 2 & 3 &4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3& 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} ...$
第二步找出这24个映射中的同构映射，同构映射把单位元映射成单位元，那么 $0^*$ 在同构映射下的像是 $0^*$
这样固定 $f(0^*) = 0^*$ 之后，只有 6 个置换满足。
同构映射把生成元变成生成元， $I_4$ 只有 $1^*, 3^*$ ， $I_4 = \{3^*, (3^*)^2, (3^*)^3, (3^*)^4\}$
同构映射把 $1^*$ 变成 $3^*$ 或 $1^*$
第一种， $f$ 把 $1^*$ 变成 $1^*$
$f(2^*) = f(1^* + 1^*) = f(1^*) + f(1^*) = 1^* + 1^* = 2^*$
同理可以推知 $f(3^*) = 3^*, f(4^*) = 4^*$ ，此时 $f$ 是个恒等映射
第二种， $f$ 把 $1^*$ 变成 $3^*$ ,此时
$f(2^*) = f(1^* + 1^*) = f(1^*) + f(1^*) = 3^* + 3^* = 2^*$
$f(3^*) = f(2^* + 1^*) = f(2^*) + f(1^*) = 2^* + 3^* = 1^*$
$f(0^*) = 0^*$
故 $Aut(I_4) = \{i_G, (0^*, 3^*, 2^*, 1^*)\}$ 这是一个两阶的群。

从 G上可以依照下面的方法，导出一个左乘变换群
$L = \{\lambda_a|a \in G\}$ ，其中 $\lambda_a: x \rightarrow ax$
$\lambda_a$ 是一个可逆映射，它属于 $I(G)$
所以 $L \subset I(G)$

$L$ 在映射合成运算下是一个群，即 $L$ 是 $I(G)$ 的子群

$S_3$ 导出的 $L$

$L=\{(1), (1 2)(3 6)(4 5), (1 3)(2 5)(4 6), (1 5 6)(2 3 4), (1 6 5)(2 4 3), (1 4)(2 6)(3 5)\}$
构造同构映射 $\sigma: S_3 \rightarrow L$
$S_3 = \{(1), (1, 2), (1, 3), (2, 3),(1, 2, 3), (1, 3, 2)\}$
$\begin{align} \sigma((1)) = (1) \\ \sigma((1, 2, 3)) = (1,5,6)(2,3,4) \\ \sigma((1, 3, 2)) = (1,6,5)(2,4,3) \\ \sigma((1,3)) = (1,3)(2,5)(4,6) \\ \sigma((1,2)) = (1,2)(3,6)(4,5) \\ \sigma((2,3)) = (1,4)(2,6)(3,5) \end{align}$
$\sigma$ 是一个同构映射，可以逐一验证 $\sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y)$