Jordan标准型

作者: Blessed佑佑 | 来源:发表于2019-11-01 21:35 被阅读0次

Jordan标准型
矩阵基础9-矩阵分解
2021-04-13
与Jordan的日常3
化二次型为标准型的方法
精读打卡Day 16
百度问答 SVD与伪逆，对比Jordan标准型
Air Jordan III和Air Jordan IV
腾讯云服务器标准型SA2与标准型S2区别选择攻略
标准型

〇、多项式（小学知识）

1、多项式的次数

设 $f(\lambda)=\sum_{k=0}^na_i\lambda^n$ 其中 $a_n\ne 0$ ，则 $\partial(f(\lambda))=n$ ，注意零多项式是没有次数或无穷次的，零次多项式就是非零常数多项式，即 $a_0\ne 0$ 。

2、带余除法

若 $h(\lambda)\ne 0$ ，则 $f(\lambda) = h(\lambda)q(\lambda) + r(\lambda)$ 其中 $r(\lambda)=0$ 或 $r(\lambda)\ne 0$ ，且 $h(\lambda)$ 和 $r(\lambda)$ 唯一。

3、质因式分解

设 $f(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda]$ ，则 $f(\lambda)=\prod q_i^{r_i}(\lambda)$ 其中 $q_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{F}[\lambda]$ 上的质因式。
在 $\mathbb{R}[\lambda]$ 上，有 $x-c \\ x^2+bx+c, b^2-4c<0$ 两种。
在 $\mathbb{C}[\lambda]$ ，只有一种不可约因式 $x-c$ ，（代数基本定理）

4、最大公因式和最小公倍式

5、辗转相除法（欧几里得算法）

$gcd(f(\lambda),g(\lambda))=h(\lambda)f(\lambda)+t(\lambda)g(\lambda)$

一、 $\lambda$ -矩阵

多项式矩阵就是以多项式为元素的矩阵。 $\mathbb{F}[\lambda]$ ，其中多项式的未定元是 $\lambda$ ，比如 $3\lambda^3+2\lambda+3$ 。

以 $\lambda$ 为未定元的多项式作为 $m\times n$ 的矩阵的元素，记作 $\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$ 。
也可以这么记，矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)=\{a_{ij}(\lambda)\}_{m\times n}, a_{ij}(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda]$ 。
还可以从映射的角度看： $\lambda\mapsto \boldsymbol{A}(\lambda), \mathbb{F}\rightarrow\mathbb{F}^{m\times n}$

还可以从以矩阵为系数的多项式角度看待： $\boldsymbol{A}(\lambda)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\boldsymbol{A}_k\lambda^k$

有了 $\lambda$ 矩阵，就有了一些概念

Rank

Rank：不为零多项式的子式的最大阶数。
子式就是行列式，但是在行列式计算中，只用到了加减乘，没有用到除法，所以即使多项式集合不是Field，而是Ring，也可以进行行列式计算，且结果还是多项式。

幺模阵

Unimodular: 设 $\boldsymbol{U}(\lambda)\in\mathbb{F}^{n\times n}[\lambda]，\boldsymbol{V}(\lambda)\in\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$ ，且 $\boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{V}(\lambda)=\boldsymbol{V}(\lambda)\boldsymbol{U}(\lambda)=\boldsymbol{I}_n$
一个矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}=\displaystyle\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$ ，这里就会有点问题，行列式在多项式范围内结果还是多项式，伴随矩阵（Adjoint）中代数余子式还是多项式，可是这里出现了除法。可是算出来就不一定是多项式矩阵，而上面的定义要求多项式矩阵的逆矩阵还是多项式矩阵，这样的矩阵才是幺模阵。这里就是Ring和Field的区别。

Theorem：如果 $\boldsymbol{U}(\lambda)\in\mathbb{F}^{n\times n}[\lambda]$ 是幺模阵，那么 $|\boldsymbol{U}(\lambda)|$ 一定是非零常值多项式。
Proof：“ $\Leftarrow$ ”，如果 $|\boldsymbol{U}(\lambda)|$ 是常值多项式，那么 $\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=\frac1{|\boldsymbol{U}(\lambda)|}\boldsymbol{U}^*(\lambda)$ 则 $\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)$ 也一定是多项式矩阵。
“ $\Rightarrow$ ”，由于 $\boldsymbol{U}(\lambda)$ 是幺模阵，则 $\exists \boldsymbol{V}(\lambda)\in\mathbb{F}^{n\times n}[\lambda]$ ，使得 $\boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{V}(\lambda)=\boldsymbol{I}$ ，将等式两边取行列式，得到 $|\boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{V}(\lambda)|=1\\ \Rightarrow |\boldsymbol{U}(\lambda)|\cdot|\boldsymbol{V}(\lambda)|=1\\ \Rightarrow f(\lambda)g(\lambda)=1$ 上面第一个推导是存疑的，需要严格考察证明，因为在我们学习线性代数时，都是在数域上考虑，而这里是多项式范围内，是环，所以需要严格的证明该性质是正确的，简单考虑下如果该等式证明只需要用到加减乘三种运算，那么该性质在多项式范围内仍然适用。最后得到 $f(\lambda)g(\lambda)=1$ ，两个多项式乘积为常数，要证明他们都是零次常值多项式，可以使用反证法，假设 $f(\lambda)$ 的次数为 $u>0$ ， $g(\lambda)$ 的次数为 $v\ge0$ ，则 $f(\lambda)g(\lambda)$ 的次数应该是 $u+v>0$ ，矛盾。所以 $|\boldsymbol{U}(\lambda)|$ 是零次常值多项式。证毕

$\lambda$ -矩阵的初等变换

两行互换
把某行乘以非0常数（似乎应该乘以多项式？）
把某一行乘以一个多项式加到零一行

在多项式的运算系统中，不可逆。两行互换可以回去，再换一次就行了；把一行乘以一个多项式加另一行，也可以回去，减去那一行乘以多项式就好了。而在第二条，想要回去势必要除法，多项式的不满足除法封闭的。
初等行变换可以利用左乘初等矩阵实现。（列就是右乘）

二、Smith标准型

多项式矩阵经过行列初等变换后，化简可以到什么程度？

$\lambda$ -矩阵等价

设 $\boldsymbol{A}(\lambda),\boldsymbol{B}(\lambda)\in\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$ 等价，即 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 可以进行若干次初等变换变换到矩阵 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 。记作 $\boldsymbol{A}(\lambda)\sim \boldsymbol{B}(\lambda)$

引理：多项式矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ ，当 $a_{11}\ne 0$ ，且 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 至少有一个元素不能被 $a_{11}$ 整除，则 $\boldsymbol{A}(\lambda)\sim \boldsymbol{B}(\lambda)$ ，且 $\partial(b_{11})<\partial(a_{11})$ ， $\partial(P)$ 表示多项式 $P$ 的次数。

Proof：分类讨论，设
$\boldsymbol{A}(\lambda)=\left[\begin{matrix} a_{11}(\lambda) & \cdots &a_{1j}(\lambda) &\cdots\\ \vdots & \ddots & \vdots & \\a_{i1}(\lambda) & \cdots & a_{ij}(\lambda) & \cdots \\ \vdots & &\vdots&\ddots \end{matrix}\right]$
有一个元素不能被 $a_{11}$ 整除，这个元素位置分为三种情况：

和 $a_{11}$ 在同一行，假设就是 $a_{1j}(\lambda)$ ， $\displaystyle\frac{a_{1j}(\lambda)}{a_{11}(\lambda)}=q(\lambda)\cdots\cdots r(\lambda)$ ，也就是说 $a_{1j}(\lambda)=a_{11}(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda)$ ，这就是多项式的带余除法，此时 $\partial(r(\lambda))<\partial(a_{1j}(\lambda))$ ，那么将第一列乘以 $-q(\lambda)$ 加到第 $j$ 列，此时 $a_{1j}(\lambda)$ 变为了 $r(\lambda)$ ，再将第 $1$ 列和第 $j$ 互换，就实现了降次的目的。 $\boldsymbol{A}(\lambda)\boldsymbol{E}_{1j}(-q(\lambda))\boldsymbol{E}_{1j}=\boldsymbol{B}(\lambda)$
和 $a_{11}$ 在同一列，假设就是 $a_{i1}(\lambda)$ ，和第一种情况类似。
和 $a_{11}$ 既不在一行也不在一列，假设就是 $a_{ij}(\lambda)$

主要来研究第三种情况，第三种情况下， $a_{1j}(\lambda)=a_{11}(\lambda)q(\lambda),j=2,\cdots$ 由此，我可以把第一行除了 $a_{11}$ 以外全都变成0，第一列也是同样的道理。在这个过程中， $a_{ij}$ 虽然经过了一些变换，但是始终是加减 $a_{11}$ 的倍数，所以还是不能被 $a_{11}$ 整除。好了那么我们现在可以把原来的矩阵变成这样：
$\boldsymbol{A}(\lambda)=\left[\begin{matrix} a_{11}(\lambda) & \cdots &0 &\cdots\\ \vdots & \ddots & \vdots & \\0 & \cdots & a_{ij}'(\lambda) & \cdots \\ \vdots & &\vdots&\ddots \end{matrix}\right]$
此时只需要将第 $i$ 行加到第1行上即变成第一种情形，也可以达到降次的目的，证毕。

Smith标准型

任意一个 $m\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ ，一定可以通过初等变换变换成： $\boldsymbol{A}(\lambda)\sim \left[ \begin{matrix} \boldsymbol{D}_r & \boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{O} \end{matrix} \right]$ ，其中 $\boldsymbol{D}_r=\text{diag}(d_1(\lambda),d_2(\lambda), \cdots,d_r(\lambda))$ ， $r=rank(\boldsymbol{A}(\lambda))$ ； $d_i(\lambda)$ 为非0多项式，且 $d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)$ 。
Proof：假设 $\boldsymbol{A}(\lambda)=\boldsymbol{O}$ ，满足。根据引理，我们一定可以降次，但是次数是有限的，不能降次时就能整除其他所有元素。那么就一定可以得到如下的形式 $\left[\begin{matrix} a_{11}&\boldsymbol{0}_{1,n-1}\\ \boldsymbol{0}_{m-1,1}& \star \end{matrix}\right]$ 且在 $a_{11}(\lambda)$ 能整除所有 $\star$ 中的所有元素。接下来可以用数学归纳法进行如法炮制证明。假设 $\star$ 是一个零矩阵，证明完毕，如果不是就继续和之前一样就好了。在将 $\star$ 进行初等变换过程中，依然保持了能被 $a_{11}$ 整除。
唯一性问题：在初等变换过程中，每个人的做法不同，那么最终的结果是一样的吗？这里的唯一指的是 $d_i(\lambda)$ 是monic polynomial，即首项为1的多项式。

$\lambda$ -矩阵的行列式因子

设 $\boldsymbol{A}(\lambda)\in\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$ ，则 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的所有 $k$ 阶子式的最大公因式称为 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的 $k$ 阶行列式因子。设 $k$ 阶子式是一个多项式的集合 $\mathcal{B}$ ，则 $|\mathcal{B}|=C_m^kC_n^k$ ，这么多个多项式们的最高公因式就是行列式因子。
设 $f(\lambda)=\prod_{k=1}^s q_k^{\alpha_k}(\lambda) \\ g(\lambda) = \prod_{k=1}^t p_k^{\beta_k}(\lambda)$ 怎么求它们的最高公因式呢？我们将两个多项式中的质因式互相地补全，次数为0就OK了，然后取它们共同的质因式的最低次乘起来就得到了最高公因式，最小公倍式类似。

Theorem：初等变换不改变 $k$ 阶行列式因子。
Proof：只要讨论三种初等变换了，且第一种和第二种都不值得讨论了，还是很容易理解和证明的。交换两行行列式只相差符号。设两个矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 和 $\boldsymbol{B}(\lambda)$ 的 $k$ 阶子式集合为 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 。
考虑：从集合 $\mathcal{B}$ 中取出 $f(\lambda)$ 是将矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的第 $i$ 行乘以 $h(\lambda)$ 加到第 $j$ 行上去，当选择的 $k$ 阶子式不包含 $j$ 行，那么 $k$ 阶子式 $f(\lambda)\in\mathcal{A}$ 中。
当包含第 $j$ 行且含有第 $i$ 行，此时 $f(\lambda)\in\mathcal{A}$ 。根据行列式的性质可知。
当包含第 $j$ 行，不包含第 $i$ 行，行列式有个性质就是可以按照某一行拆开（大一时老师一再强调只能拆一行） $|\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_i+\boldsymbol{\beta}_i,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n|= |\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_i,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n|+|\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_i,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n|$ 所以此时 $f(\lambda)=g(\lambda)+w(\lambda)$ ， $w(\lambda)$ 就是一个 $k$ 阶子式，只是原来第 $j$ 行的位置换成了第 $i$ 行。所以 $g(\lambda)\in\mathcal{A},w(\lambda)\in\mathcal{A}$ ，那么 $\mathcal{A}$ 中所有的多项式的公因式一定整除 $f(\lambda)$ 。
总结一下， $\mathcal{B}$ 中任意一个多项式都可以被 $\mathcal{A}$ 中的多项式的公因式整除，反过来亦然，因为初等变换是可逆的，两者结合，得到初等变换不改变 $\lambda$ -矩阵的 $k$ 阶行列式因子。

不变因子

$\boldsymbol{A}(\lambda)\sim \left[ \begin{matrix} d_1(\lambda) & & & &\\ & \ddots & & \boldsymbol{O}\\ & & d_r(\lambda) \\ &\boldsymbol{O} & &\boldsymbol{O} \end{matrix} \right]$
证明： $r$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的rank。 $d_1=D_1, d_i=\displaystyle\frac{D_{i}}{D_{i-1}}$ 。其中 $D_i$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的 $i$ 阶行列式因子。
Proof：计算等价两侧的矩阵的各阶行列式因子。利用数学归纳法

$d_1=D_1$
当左边= $D_k$ 时，右边所有的子式的集合为 $\{d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda),\cdots\}$ ，那么第一个就是最高公因式，所以 $D_k=\prod_{i=1}^k d_i(\lambda)$ 。如法炮制即可。将每一阶都算出来，再反过来解出来就行。

求Smith型

例：求
$\left[ \begin{matrix} \lambda(\lambda+1) & & \\ & \lambda & \\ & &(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]$ Simth标准型
通过行列式因子求不变因子就可以求得Simth标准型。
先来看下基本的方法，初等变换：
$\left[ \begin{matrix} \lambda(\lambda+1) & 0 &0 \\0 & \lambda & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]\sim \left[ \begin{matrix} \lambda & 0 &0 \\0 & \lambda(\lambda+1) & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right] \sim \left[ \begin{matrix} \lambda & 0 &(\lambda+1)^2 \\0 & \lambda(\lambda+1) & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right] \sim \cdots$ 这里就点到为止，只要你契而不舍的做下去就好了。
$\left[ \begin{matrix} \lambda(\lambda+1) & 0 &0 \\0 & \lambda & 0\\0&0&(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]\sim \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0 & \lambda(\lambda+1) & 0\\0&0&\lambda(\lambda+1)^2 \end{matrix} \right]$
用行列式因子计算（并不好算）
$D_1=gcd(\lambda(\lambda+1),\lambda,(\lambda+1)^2)=1\\ D_2=gcd(\lambda^2(\lambda+1),\lambda(\lambda+1)^3,\lambda(\lambda+1)^2)=\lambda(\lambda+1)\\ D_3=gcd(\lambda^2(\lambda+1)^3)=\lambda^2(\lambda+1)^3$ 那么 $d_1,d_2,d_3$ 就可以算了。

Theorem：幺模阵可以写成初等矩阵的乘积。
幺模阵的Smith型是单位矩阵。 $\boldsymbol{U}(\lambda)\sim \boldsymbol{I}$
证明不是很难，这里就不进行证明，虽然和以前的矩阵类似，但是不要想当然，需要严格证明。

三、特征矩阵

设矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{F}^{n\times n}$ ， $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{matrix} \right]$

矩阵相似和多项式矩阵等价

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相似，则
$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P^{-1}BP}$
则有 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\sim\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ ，即存在 $\boldsymbol{U}(\lambda)$ 和 $\boldsymbol{V}(\lambda)$ ，使得 $\boldsymbol{U}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{V}(\lambda)=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$

多项式矩阵的次数

设 $\lambda$ -矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)=\sum_{k=0}^r\boldsymbol{A}_k\lambda^k$ ，其中 $\boldsymbol{A}_k\ne\boldsymbol{O}$ ，则 $\partial(\boldsymbol{A}(\lambda))=r$ 。零矩阵的多项式次数无意义。

多项式矩阵乘积的次数

设 $\boldsymbol{A}(\lambda)\in\mathbb{F}^{m\times m}[\lambda]$ ， $\boldsymbol{B}(\lambda),\boldsymbol{C}(\lambda)\in\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$ ，其中 $\boldsymbol{A}(\lambda)\boldsymbol{B}(\lambda)=\boldsymbol{C}(\lambda)$ ，若 $\partial(\boldsymbol{A}(\lambda))=r$ ，即 $\boldsymbol{A}(\lambda)=\sum_{k=0}^r\boldsymbol{A}_k\lambda^k$ ，其中 $\boldsymbol{A}_r\in\mathbb{F}^{m\times m}$ 可逆，则 $\partial(\boldsymbol{C}(\lambda)) = \partial(\boldsymbol{A}(\lambda)) + \partial(\boldsymbol{B}(\lambda))$

多项式矩阵的带余除法

$\boldsymbol{B}(\lambda) = \boldsymbol{A}(\lambda)\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}(\lambda)$ 其中，要么除尽，即 $\boldsymbol{R}(\lambda)=\boldsymbol{O}$ ，要么除不尽， $\partial(\boldsymbol{R}(\lambda))<\partial(\boldsymbol{A}(\lambda))$
要注意，这个是有条件的，要求 $\boldsymbol{A}_r$ 可逆。

继续证明相似和特征矩阵的等价
“ $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}\Rightarrow \boldsymbol{U}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{V}(\lambda)=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ ”：这个方向比较简单，我们只要取 $\boldsymbol{U}(\lambda)=\boldsymbol{P}$ 就可以了，数值矩阵首先肯定是多项式矩阵，其次由于矩阵 $\boldsymbol{P}$ 可逆，所以它的行列式不为0，但是是常数，所以满足幺模阵的充要条件。
“ $\boldsymbol{U}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{V}(\lambda)=\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}\Rightarrow \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ ”：这里就要用到上面介绍的定理。
先用下除法：
$\boldsymbol{U}(\lambda)=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}(\lambda)$ 则 $\boldsymbol{R}(\lambda)=\boldsymbol{O}$ 或者 $\partial(\boldsymbol{R}(\lambda))<\partial(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})=1$ ，且 $\boldsymbol{R}(\lambda)\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ，总之 $\boldsymbol{R}(\lambda)$ 是常值矩阵，记为 $\boldsymbol{R}$ ，代入得 $[(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}](\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)\\ \Rightarrow \boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})[\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)-\boldsymbol{Q}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})]$ 根据上面的次数规律，左边最高是1次，所以右边的 $\boldsymbol{V}^{-1}(\lambda)-\boldsymbol{Q}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})$ 必须是常值矩阵，记为 $\boldsymbol{S}$ 。所以 $\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{S}$ ，再比较系数可以得到 $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{S}$ ，我们现在要 $\boldsymbol{R}$ 或 $\boldsymbol{S}$ 是可逆矩阵。
由于 $\boldsymbol{U}(\lambda)$ 是幺模阵，所以其逆矩阵 $\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)$ 也是多项式矩阵，再做一次除法，这次我们除以 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) \tilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)+\tilde{\boldsymbol{R}}(\lambda)\\ \Rightarrow \boldsymbol{U}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=[(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)+\boldsymbol{R}(\lambda)][(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) \tilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda)+\tilde{\boldsymbol{R}}(\lambda)]=\boldsymbol{I}\\ \Rightarrow \boldsymbol{I}-(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{Q}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda)=\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\tilde{\boldsymbol{Q}(\lambda)}+\boldsymbol{R}\tilde{\boldsymbol{R}}$ 用 $\boldsymbol{R}(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})\boldsymbol{S}$ 替换，得到 $\boldsymbol{R}\tilde{\boldsymbol{R}} = \boldsymbol{I} - (\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})[\boldsymbol{Q}(\lambda)\boldsymbol{U}^{-1}(\lambda) + \boldsymbol{S}\tilde{\boldsymbol{Q}}(\lambda )]$ 将这个公式看作一个带余除法，把 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}$ 当除数（它有资格），也可以使用次数比较都可以推出： $\boldsymbol{R}\tilde{\boldsymbol{R}}=\boldsymbol{I}$ 大功告成！普通数域上矩阵的相似问题，转换成其特征矩阵的等价问题。

研究特征矩阵的Smith标准型问题

$|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\lambda^n+\cdots$ 特征矩阵一定有 $n$ 个不变因子，就是说它的Smith标准型是摆满的，但是一定会有许多个1。不妨假设在 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_n{\lambda}$ 中有 $p$ 个非常数不变因子，记为 $h_1(\lambda),\cdots,h_p(\lambda)$ ，设 $n_i=\partial(h_i(\lambda)),i=1,2,\cdots,p$ ，有 $n-p=\sum_{k=1}^p(n_k-1)$ （小学生的知识），这时我们重新组合下特征矩阵： $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\sim\left[ \begin{matrix} 1 \\ & \ddots\\ &&h_1(\lambda)\\ & & & \ddots\\ & & & &1\\ & & & & &\ddots\\& & & & & & h_p(\lambda ) \end{matrix} \right]$ 对非常数不变因子进行质因式分解。

四、Jordon标准型（在 $\mathbb{C}$ 上）

我们来考虑上述变换后的一个子块： $\left[ \begin{matrix} 1\\&\ddots\\&&1\\&&&h_i(\lambda) \end{matrix} \right]$ ，其中 $h_i(\lambda)=\prod_{i=1}^k(\lambda-c_i)^{r_i}$ 有 $k$ 个初等因子。总的次数是 $n_i$ ，所以 $\sum_{t=1}^kr_t=n_i$ 。

$\left[ \begin{matrix} 1\\&\ddots\\&&1\\&&&h_i(\lambda) \end{matrix} \right]\rightarrow\left[ \begin{matrix} 1 \\ & \ddots\\ &&(\lambda-c_1)^{r_1}\\ & & & \ddots\\ & & & &1\\ & & & & &\ddots\\& & & & & &(\lambda-c_k)^{r_k} \end{matrix} \right]$ 记其中一个块为： $J_i(\lambda)=\left[\begin{matrix} 1\\&\ddots\\&&1\\&&&(\lambda-c_i)^{r_i} \end{matrix}\right]$

Jordan块的Smith型

$\lambda\boldsymbol{I}_{r_i}-\left[ \begin{matrix} c_i&1\\&c_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&& c_i \end{matrix} \right]_{r_i\times r_i}\sim\left[ \begin{matrix} 1\\& \ddots\\ & & 1\\& & & (\lambda-c_1)^{r_i} \end{matrix} \right]$ 证明两个多项式矩阵等价。自己证明，还是挺简单的。
Theorem：设矩阵 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，且 $|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\prod_{k=1}^q(\lambda-c_k)^{r_k}$ ，取 $\boldsymbol{J}_i=\left[ \begin{matrix} c_i&1\\&c_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&c_i\end{matrix} \right]_{r_i\times r_i}$ 则 $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{J}=diag(\boldsymbol{J_1},\boldsymbol{J_2},\cdots,\boldsymbol{J}_q)$ 其中 $\boldsymbol{J}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的Jordan标准型。

五、复数域上矩阵特征结构

设 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，且 $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}$ ，则有 $\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{PJ}$ 对矩阵进行分块， $\boldsymbol{J}=diag(\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,\cdots,\boldsymbol{J}_q)$ ， $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_q]$

Jordan标准型
〇、多项式（小学知识） 1、多项式的次数设其中，则，注意零多项式是没有次数或无穷次的，零次多项式就是非零常数多项...
矩阵基础9-矩阵分解
一. 二次型的条件优化条件优化: 二. 矩阵分解 2.1 谱分解 2.2 Jordan分解 Jordan标准型:...
2021-04-13
简单的回顾一下行列式因子不变因子与初等因子两种求解标准 Jordan 标准型初等变换 ...
与Jordan的日常3
中午我准备去学校，jordan生病在家。我说Jordan，姐姐上学了，Jordan再见。jordan 说再见Jo...
化二次型为标准型的方法
正交变换法求标准型配方法求标准型
精读打卡Day 16
1. Jordan Baker inTheGreat Gatsby Jordan is quite unlike ...
百度问答 SVD与伪逆，对比Jordan标准型
https://zhidao.baidu.com/question/390530869.html https://...
Air Jordan III和Air Jordan IV
Air Jordan III 从技术上讲，这是Air Jordan系列的第三代球鞋，但Air Jordan III...
腾讯云服务器标准型SA2与标准型S2区别选择攻略
码笔记需要购买一台腾讯云服务器，可选的腾讯云CVM实例规格有标准型S2和标准型SA2，如何选择呢？显然标准型SA2...
标准型
看了个减肥帖，姑娘们纷纷贴上自己减肥前后的对比照。观感如下： 1、其实很多人胖的时候都非常有辨识度，瘦下来却纷纷坠...

Jordan标准型

〇、多项式（小学知识）

1、多项式的次数

2、带余除法

3、质因式分解

4、最大公因式和最小公倍式

5、辗转相除法（欧几里得算法）

一、-矩阵

Rank

幺模阵

-矩阵的初等变换

二、Smith标准型

-矩阵等价

Smith标准型

-矩阵的行列式因子

不变因子

求Smith型

三、特征矩阵

矩阵相似和多项式矩阵等价

多项式矩阵的次数

多项式矩阵乘积的次数

多项式矩阵的带余除法

研究特征矩阵的Smith标准型问题

四、Jordon标准型（在上）

Jordan块的Smith型

五、复数域上矩阵特征结构

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

一、 $\lambda$ -矩阵

$\lambda$ -矩阵的初等变换

$\lambda$ -矩阵等价

$\lambda$ -矩阵的行列式因子

四、Jordon标准型（在 $\mathbb{C}$ 上）