五、树与二叉树

1．树与二叉树的基本概念，基本特征、名词术语；

1.树的定义

树(Tree)是 n(n≥0)个有限数据元素的集合。当 n=0 时，称这棵树为空树。在一棵非

树T中:

(1)有一个特殊的数据元素称为树的根结点，根结点没有前驱结点;

(2)若 n>1，除根结点之外的其余数据元素被分成 m(m>0)个互不相交的集合 T1，T2，...，

Tm，其中每一个集合 Ti(1≤i≤m)本身又是一棵树。树 T1，T2，...，Tm 称为这个根结点的子 树。

2.相关术语

(1)结点的度:结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。

(2)叶结点:度为 0 的结点称为叶结点，或者称为终端结点。 

(3)分支结点:度不为 0 的结点称为分支结点，或者称为非终端结点。一棵树的结点除叶结点外，其余的都是分支结点。 

(4)孩子、双亲、兄弟:树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子。这个结点称为它孩子结点的双亲。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。 

(5)路径、路径长度:如果一棵树的一串结点 n1,n2,...,nk 有如下关系:结点 ni 是 ni+1 的父结点(1≤i<k),就把 n1,n2,...,nk 称为一条由 n1 至 nk 的路径。这条路径的长度是 k-1。 

(6)祖先、子孙:在树中，如果有一条路径从结点 M 到结点 N，那么 M 就称为 N 的祖先，而N称为M的子孙。

(7)结点的层数:树的根结点的层数为 1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加1。

(8)树的深度:树中所有结点的最大层数称为树的深度。 

(9)树的度:树中各结点度的最大值称为该树的度。 

(10)有序树和无序树:如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，即若交换了某结点各子树的相对位置，则构成不同的树，称这棵树为有序树;反之，则称为无序树。 

(11)森林:零棵或有限棵不相交的树的集合称为森林。自然界中树和森林是不同的概念，但在数据结构中，树和森林只有很小的差别。任何一棵树，删去根结点就变成了森林。

1.二叉树

二叉树(Binary Tree)是 n 个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根(root)的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。当集合为空时，称该二 叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个结点。二叉树是有序的，即若将其左、右子树颠倒，就成为另一棵不同的二叉树。即使树中结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

2．完全二叉树与满二叉树的基本概念，二叉树的基本性质及其应用；

2.满二叉树与完全二叉树

(1)满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同 一层上，这样的一棵二叉树称作满二叉树。

(2)完全二叉树

一棵深度为 k 的有 n 个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行 编号，如果编号为 i(1≤i≤n)的结点与满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置相同，则 这棵二叉树称为完全二叉树。完全二叉树的特点是:叶子结点只能出现在最下层和次下层， 且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全 二叉树未必是满二叉树。

3.二叉树的性质

性质 1 

性质 2 

性质 3   

性质4

3．二叉树的顺序存储结构与二叉链表存储结的基本原理；

4．二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历和按层次遍历，重点是二叉树在以二叉链表作为存储结构基础上各种遍历算法(包括非递归算法)的设计与应用；

前序遍历

中序遍历

后序遍历

按层次遍历

非递归算法

5．二叉排序树的基本概念、建立(插入)、查找以及平均查找长度ASL的计算。

书中，需整理相关

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