纸抽

——选自个人旧作《教育行思录》

开始用纸抽是好多年前的事了，认真研究纸抽是最近几天的事。

同事小曹网购，店家赠送了两个纸抽。小曹顺手就放到办公室里，一直也没有人用。不是不用，是想不起来用。这天收废品的来收拾办公室，给带了两西瓜。吃完西瓜，正赶上没水，大家扎撒着手说话，小曹就一下想起了纸抽。一人一张地擦完手，话题也自然就转到了纸抽上。

小曹手里拿着纸抽盒，看纸抽盒上店家的促销广告。小林说，你说现在这人就是聪明啊，怎么想的，就是方便。小曹说，你看人家送个东西，还把广告做了。方老师说，其实我觉得最好的方式，是把每张纸上都印上，这样广告效果还要好。不好，小曹说，这纸抽一张扔一张，没空看。再说了，那样也会污染。方老师说，不要印，做那种压花的，隐隐约约，提人兴趣。小李说，方老师说得这事，我也想过，我是想如果在纸上印上英语单词、唐诗什么的，一张张的抽一张地背。这样既可以增加销路，又能有利于学习。小曹就乐，人们被她突然的笑弄得莫名其妙，就一齐看着她。小曹止住笑说，最早我家用这玩意，我就不知道怎么会是这样，我就掏出来一张张地翻，结果全翻乱了，还没弄明白。小李说，我也专门打开过，它是一张压一张，抽这一张带出下一张。其实很简单的事，有时就是想不到。

徐老师讲代数的概念，教学设计费了不少脑子。她从摆火柴棒的游戏入手，想一步步深入下去，最终得出代数的概念和规律。

为了提起孩子的兴趣，上课伊始，徐老师提出了一个题目，这也是整堂课的出发点。她用四根火柴摆了一个正方形，用七根火柴摆了两个正方形，用十根火柴摆了三个正方形。然后提出问题：

问题1．   按照我的方式，摆两个正方形需要多少根火柴棒，摆3个正方形需要多少根火柴棒？这是让学生来数数。

问题2．   摆10个正方形，需要多少根火柴棒？这是让学生进行思考。

徐老师设想从这两个问题入手，下面就可以一步步引导学生得出结论，但是没有想到学生的思路一下超出了徐老师的安排，并且把徐老师弄狼狈了。小龙只用了12根火柴棒，摆出4个相同的正方形。小虎用8根火柴棒，就摆出了9个同样的正方形。千差万别的结果一下引发了争论，课堂气氛空前热烈，“徐老师也一下懵了”怎么会这样？想的挺好的啊！

徐老师首先失误在用自然语言来说明数学，所以才造成了这样的错误。因为自然语言是常态语言，是模糊的，具有不确定性。而数学语言则是确定的、严密的。将自然语言不加限定而直接应用到数学中来，就有可能造成错误。曾有人举过这样一个例子：“一粒麦子构不成一堆，对于任何一个数字n来说，如果n粒麦子构不成一堆的话，那么，n＋1粒麦子也构不成一堆。因此，任意多的麦粒都不能形成堆。”显然这是一个悖论，而造成这个悖论的原因就是因为用了自然语言中“堆”这个模糊概念。徐老师没有具体规定正方形的大小，即没有明确正方形的边长必须是“一根火柴棍大小”，才让小虎“钻了空子”。

其次，硬把可变因素假设为不变因素，得不到共性的思维，也难以让学生抽象出正确的结论。既使硬让学生得出了结论，也是错误的。因为学生所赖以推导的基础是错误的，在课堂上所经历的“经验”也是错误的。按照徐老师设定的这唯一的一种摆放形式，学生得出的可“代数”规律，不是“放之四海而皆准”的定律或公式。这就更给了学生一种错误的认识，因为稍一换位就发现刚刚得出的“公式”是错误的。很显然，摆4个正方形可以用12根火柴棒，徐老师摆3个正方形要用10根火柴棒，“公式”就应该是4×3-2。小明用22根火柴摆出8个正方形，公式则应是8×3-2。既然有这样多的方式，那学生心中出现各种各样的答案也就再所难免。这样多的不同答案让徐老师在课堂上就“很受罪”，在课后很后悔。

我们知道，在数学上字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。通过有关数、式、方程、函数等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法。通过代数学习，使学生的归纳、演绎、抽象、概括等思维形式都获得发展。从运算的角度说，代数运算（特别是式的运算和函数运算）主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高，不像小学算术的运算那样，有现实背景作为思维的强有力依托。而抽象的基础是大量同质的量的出现。

第三，代数最终无法代数是这节课的最后结局。数量关系的符号表示是代数的灵魂，它能使复杂的数量关系变化规律得到简明表示，而且符号和表达式还能够在探索解决问题的途径中提供线索。学生在小学阶段已经接触过某些代数思想，例如用“设未知量为x”建立方程的方法解数学应用题。既然学生都已知道如铅笔的单价为3元，买n支铅笔需要3n元，所以再用这样一节课弄浑学生的头脑真是得不偿失。

数学推理有似真推理和逻辑推理，分析问题、选择解法多为似真推理，而解题方法的具体实施则多与逻辑推理相关。逻辑推理的发展要经历四级水平：直接推理水平，即套用公式直接推出结论；间接推理水平，即需要进行条件转化、寻找依据、经过多个步骤得出结论；迂回推理水平，即需要深入分析条件及相互关系，提出假设，反复验证后才得出结论；综合性推理水平，即要按照一定的数理逻辑规则、格式进行推理，追求推理过程的简练、合理。

有储备才有付出，有序才顺畅。