509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
给定 N，计算 F(N)。

示例 1：
输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.

示例 2：
输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.

示例 3：
输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

提示：
0 ≤ N ≤ 30

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解法1 暴力

直接自顶向下递归

image.png

实现代码：

    int fib(int n) {
        if (n <= 0) {
            return 0;
        } else if (n == 1) {
            return 1;
        } else {
            return fib(n - 1) + fib(n - 2);
        }
    }

使用三目简化代码：

    int fib(int n) {
        return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

时间复杂度为O(2^n)

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解法2：记忆化搜索

自顶向下递归+缓存

image.png

添加缓存

    int fib(int n) {
        return fib_mem(n, new int[n + 1]);
    }
    /**
     * 添加缓存
     */
    int fib_mem(int n, int[] mem) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }
        if (mem[n] == 0) {
            mem[n] = fib_mem(n - 1, mem) + fib_mem(n - 2, mem);
        }
        return mem[n];
    }

时间复杂度为O(n)

解法3 动态规划

自底向上,一个循环累加即可。

    int fib(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }
        int[] a = new int[n + 1];
        a[0] = 0;
        a[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
        }
        return a[n];
    }

最后可以消除数组，如下：

    int fib(int n) {
        if (n < 2)
            return n;
        int prev = 0, curr = 1;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            int sum = prev + curr;
            prev = curr;
            curr = sum;
        }
        return curr;
    }