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2019-04-28

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作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-04-28 19:39 被阅读0次
  • 线性方程组和Gauss消元法
  • 线性方程组
    • \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2 \\ ...\\ a_{s1} x_1+a_{s2}x_2+...+a_{sn}x_n = b_s \end{cases},其中a_{ij}是系数，b_1,b_2...,b_s是常数项，若b_1 = b_2 = ... = b_s = 0,则该线性方程为齐次线性方程，令A = (a_{ij})_{s\times n}，x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\...\\x_n \end{pmatrix},b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\...\\b_n \end{pmatrix}
    • 等同于Ax = b
    • 若x_1 = c_1,x_2 = c_2,...,x_n = c_n是其解，则 x_0 = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\...\\c_n \end{pmatrix}是Ax = b的解，x_0称为解向量。
    • (A,b)称为增广矩阵
    • 定理：若初等行变换将(A,b)化成(A_1,b_1)，其中A_1为线性方程组的系数阵，b_1是常数项，则该线性方程组与上述同解。
  • 齐次线性方程组有非零解的条件
    • 定理：设s\times n矩阵A = (\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n)，则齐次线性方程组Ax = 0，有非零解当且仅当\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n线性相关，当且仅当r(A) < n。
      • 推论1：s<n时，A_{s\times n} = 0必有非零解。
      • 推论2：A_{n\times n} = 0有非零解当且仅当|A| = 0
  • 齐次线性方程组的基础解系
  • 性质：齐次线性方程组Ax = 0任意解的任意线性组合都是解。
  • 基础解系的定义
    • 定理：若r(A_{s\times n}) = r,则A_{s\times n} = 0的基础解系中含有n-r个线性无关的解向量
    • 定理：若r(A_{s\times n}) = r,则A_{s\times n} = 0的任意n-r个线性无关的解向量都是其基础解系。
  • A = (a_{ij})_{s\times n},Ax = 0
    • 定义：若\eta_1,\eta_2,...,\eta_t是Ax = 0的解，且满足：1、\eta_1,\eta_2,...,\eta_t线性无关，2、Ax = 0的任意解\eta均可由\eta_1...\eta_t线性表示，则称\eta_1,\eta_2,...,\eta_t是Ax = 0的基础解系。
      • 设r(A_{s \times n}) = r<n，则Ax = 0的基础解系中含n-r个解向量。
        • 设A经过初等行变换化成简化阶梯型矩阵
        • \begin{pmatrix} 1 & 0 &...&0&c_{1r+1}&...&c_{1n} \\ 0 & 1 &...&0&c_{2r+1}&...&c_{2n} \\ 0 & 0 &...&1&c_{rr+1}&...&c_{rn} \\0 & 0 &...&0&0&...&0 \\ 0 & 0 &...&0&0&...&0 \end{pmatrix}
        • 所以Ax = 0有通解，\begin{cases} x_1 = -c_{1r+1}x_{1r+1}-...-c_{1n}x_{1n}\\ x_2 = -c_{2r+1}x_{ 1r+1}-...-c_{2n}x_{1n} \\ ...\\x_r = -c_{rr+1}x_{ 1r+1}-...-c_{rn}x_{1n}\end{cases}
  • 令\begin{pmatrix}x_{1r+1} \\ x_{1r+2 }\\...\\x_{1n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\...\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\...\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\...\\1 \end{pmatrix}
    • 得\eta_1 = \begin{pmatrix} -c_{1r+1} \\ -c_{2r+1} \\...\\-c_{rr+1}\\1\\0\\...\\ \end{pmatrix},\eta_2 = \begin{pmatrix} -c_{1r+2} \\ -c_{2r+2} \\...\\-c_{rr+2}\\0\\1\\...\\ \end{pmatrix}... \eta_{n-r} = \begin{pmatrix} -c_{1n} \\ -c_{2n} \\...\\-c_{rn}\\0\\0\\...\\ \end{pmatrix}
  • \eta_1,\eta_2...\eta_r线性无关
  • 设\eta = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\...\\k_n \end{pmatrix}是Ax = 0的解，\eta-k_{r+1}\eta_1-k_{r+2}\eta_2-...-k_n \eta_{n-r} = 0仍是方程的解。

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