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一道不等式题

一道不等式题

作者: jygjay | 来源:发表于2018-09-30 00:44 被阅读0次

x>0,y>0,且满足x+y=k，则使不等式(x+\frac1x)(y+\frac1y)\geqslant(\frac2k+\frac{k}{2})^2恒成立的 k 的最大值为多少？

解答：\because x>0,y>0,x+y=k\therefore xy>0; xy\leqslant\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{k^2}{4}
\therefore 0<xy\leqslant\frac{k^2}{4}
设t=xy,则
(x+\frac1x)(y+\frac1y)
=xy+\frac{x}y+\frac{y}x+\frac1{xy}
=xy+\frac1{xy}+\frac{x^2+y^2}{xy}
=xy+\frac1{xy}+\frac{k^2-2xy}{xy}
=xy+\frac{k^2+1}{xy}-2
设f(t)=(x+\frac1x)(y+\frac1y)=t+\frac{k^2+1}t-2,0<t\leqslant\frac{k^2}{4}
则原不等式化为f(t)\geqslant{f(\frac{k^2}4)}恒成立,所以f(t)当t=\frac{k^2}4时取最小值。
则\sqrt{(1+k^2)}\geqslant\frac{k^2}{4}
\Rightarrow0<k\leqslant{{2}\sqrt{2+\sqrt{5}}}

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