射线与球的相交

今天来说说射线和球的相交检测。

从图形来说

![射线和圆相交, origin是射线起点， dir是射线的方向向量。p0，p1是两个交点，center为圆心，半径为R，d为圆心到射线的距离][ray-sphere]

我们先以2D切面图来说明，当射线和圆相交的时候，可以看到，球心 center 到射线 ray 的距离 d <= R，这个即为相交的条件。那么射线与球相切就转化为了球心到射线的距离d的判断。先求出d：

1. 设圆心在射线上的投影为c'，则 origin，center, c' 形成了一个直角三角形。

• 获得射线起点到圆心的向量 Voc = Vcenter - Vorigin
• 在射线方向上的投影为: Poc= Voc·(Voc·dir)
• 勾股定理：d·d = Voc·Voc - Poc·Poc

可以求出d的数值，

• d < R，射线穿过圆，与圆有两个交点。
• d = R，射线与圆相切，有一个交点为切点。
• d > R，射线在圆外，没有交点。

接下来求P0，P1：

1. c'，center，P0 or P1点构成直角三角形。

• P0 or P1到c'的距离 tca·tca = R·R - d·d;
• 有如下式子

P0 = dir·( |Poc| - tca );
P1 = dir·( |Poc| + tca );

要注意，没有交点的时候， tca·tca < 0 是没办法开平方的
推导三维情况可以照上面的去做，dot能保证投影点在同一个平面上的。

附代码

bool Intersect(const Ray& ray, const Sphere& sphere, float& t0, float& t1)
{
    Vector3 oc = sphere.GetCenter() - ray.GetOrigin();
    float projoc = dot(ray.GetDirection(), oc);

    if (projoc < 0)
        return false;

    float oc2 = dot(oc, oc);
    float distance2 = oc2 - projoc * projoc;

    if (distance2 > sphere.GetRadiusSquare())
        return false;

    float discriminant = sphere.GetRadiusSquare() - distance2;
    if(discriminant < FLOAT_EPSILON)
        t0 = t1 = projoc;
    else
    {
        discriminant = sqrt(discriminant);
        t0 = projoc - discriminant;
        t1 = projoc + discriminant;
        if (t0 < 0)
            t0 = t1;
    }
    return true;
}

从方程角度来看

射线方程：ray : P(t) = O + D·t ( t >= 0 )
球的方程：sphere : sqr( P-C ) = R·R (sqr(x) = x^2 = x·x)

O=origin, D=direction, C=center, R=radius

射线方程表明的是如下一个点的集合P，当t从零增大时, D·t会沿着D向量的方向从零逐步变长，t 取值无限表示了射线单方向。从O点开始在D方向上无限个点构成了一条射线。
球的方程表明了任何点P，只要到C点的距离等于半径R，则表明点在球面上，这么一个球面上的点的集合。
因此当射线与球相交的时候，这个点既在射线上，又在球面上。等式射线的P(t) = 球的P成立。

联立两个方程，试着求解 t 有：

sqr( O + D·t - C ) = R·R

设 O-C=OC，有：

sqr( OC+D·t ) - R·R = 0
//展开得到如下式子
=> D·D·t·t + 2·OC·D·t + OC·OC - R·R = 0
=> (D·D)·t·t + 2·(OC·D)·t + OC·OC - R·R = 0

因为 D 是单位向量有D·D = dot(D, D) = 1最后方程为：

t·t + 2·(OC·D)·t +  OC·OC - R·R = 0;

这是一个关于 t 的二次方程at^2 + bt + c = 0那么解就已经出来了：

• t0 = -(b + √Δ) / 2a
• t1 = -(b - √Δ) / 2a
• a = D·D = dot(D, D) = 1;
• b = 2·OC·D = 2·dot(OC, D);
• c = OC·OC - R·R = dot(OC, OC) - R·R;
• 判别式 Δ = sqr(b) - 4ac
  = 4·sqr( OC·D ) - 4·( OC·OC - R·R )
  = 4·( sqr( OC·D ) - OC·OC + R·R );
  如果判别式 Δ > 0，则表明球与射线相交。

根据以上方程，我们其中试着展开 t 的式子
t0 = -(b + √Δ) / 2a = -(b + √Δ) / 2·1
= -b/2 - √(Δ/4)
= -dot(OC, D) - √( sqr( dot(OC, D) ) - dot(OC, OC) + R·R )

求出 t 后可以根据 P(t) = O + D * t 得到交点。

附代码

bool Intersect(const Ray& ray, const Sphere& sphere, float& t0, float& t1)
{
    Vector3 oc = ray.GetOrigin() - sphere.GetCenter();
    float dotOCD = dot(ray.GetDirection(), oc);

    if (dotOCD > 0)
        return false;

    float dotOC = dot(oc, oc);
    float discriminant = dotOCD*dotOCD - dotOC + sphere.GetRadiusSquare();

    if (discriminant < 0)
        return false;
    else if (discriminant < FLOAT_EPISLON)
        t0 = t1 = -dotOCD;
    else
    {
        discriminant = sqrt(discriminant);
        t0 = -dotOCD - discriminant;
        t1 = -dotOCD + discriminant;
        if (t0 < 0)
            t0 = t1;
    }
    return true;
}

补充一些内容：

交点的法线

因为交点在球面上，球面法线反向是从球心指向球面的点。
设交点为 IntersecionP，只需要简单的计算：

normal = ( IntersectionP - sphere.GetCenter() ).Normalize();