广告系统智能出价PID控制中的偏差函数主要有差分形式和比率形式，响应函数有线性响应和非线性响应。
根据具体的场景、目标的不同，可以自己对偏差函数和响应函数进行组合。
差分形式的偏差：cpa_delta = given_cpa - real_cpa
比率形式的偏差：cpa_ratio_delta = given_cpa/real_cpa - 1
其中given_cpa是广告主给定成本，real_cpa是竞价真实成本。
我们知道控制出价的公式为
在ocpc出价时，有
其中k为是智能出价系数，直观的，k越大，bid_cpc越大，real_cpa越大；k越小，bid_cpc越小，real_cpa越小。
我们希望当e>0时，k值变大；e<0时，k值变小；e = 0时，k值不变；
显然，k=f(e)，即智能出价系数是反馈偏差e的函数。
采用比例积分控制算法可得
最终的智能出价系数k等于k_t再经过一个响应函数。
响应函数可以是线性响应函数也可以是非线性响应函数，但是设计的时候最好满足以下几个条件。
- 当real_cpa=given_cpa的时候，智能出价系数k=1，即此时平衡，不对价格做调节。当real_cpa<given_cpa时，k>1增大出价，反之减小出价。
- 由广告系统的特性，智能出价系数k的值域下界最好是0，不要出现负数，因为负的智能出价系数在广告系统里没有意义。
- 当real_cpa与given_cpa接近的时候，即初始平衡态附近，响应函数对k_t的变化不敏感（斜率稳定，不跃阶）。
根据这些条件设计响应函数，当e为比率偏差cpa_ratio_delta且偏差计算只用比例控制时。令real_cpa=given_cpa,则有
要使得此时k=1，可用
即偏差计算只用比例控制搭配响应函数为线性响应时，满足上述3个条件，此时
但是若加上累积误差的积分控制，公式就变成了
那这时候因为有累计误差，可能使得k<0，显然无法满足上述第2个条件，这时候可以设计个分段函数，比如在k值小于0时候截断成0，也可以采用其他的非线性响应，比如深度学习中常用的relu，sigmoid函数都是满足条件的。
若采用指数响应函数，则不论偏差函数如何，都可以满足上述3个条件，即
指数响应函数搭配差分形式的偏差最终智能出价系数为
比率形式和差分形式的偏差优化目标不同，在具体使用的时候效果也会有些区别。比率形式优化的是成本偏差的比率，差分形式优化的是成本偏差的绝对值。具体的效果不同体现在哪，我会在另外一篇文章中详细阐述。
PS：如果对ocpc智能出价PID的基本算法有疑问，建议先阅读《ocpc实践录》
精彩预告：
第一篇：ocpc智能出价PID控制中的偏差与响应函数
第二篇：智能出价PID控制中不同偏差函数特性对比
第三篇：ocpc一阶段机制
第四篇：ocpc行业模型详解
第五篇：延迟模型在ocpc中的应用
第六篇：ctr校准与cvr校准
第七篇：ocpc自动扩量技术
第八篇：如何从0开始建立ocpc业务
第九篇：ocpc中的深度转化模式
第十篇：ocpc智能出价离线仿真模块
第十一篇：评价ocpc效果的指标
第十二篇：ocpc中的赔付机制
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