刚体运动学（3）：欧拉角

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-02-13 22:18 被阅读0次

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 行列式与坐标反演

在刚体运动学（1）中已经提到，唯一地确定刚体内某点的位置一共需要 $6$ 个坐标。其中 $3$ 个位置坐标用来确定 $S^{\prime}$ 参考系的相对位置，剩下 $3$ 个方向坐标则是从 $9$ 个方向余弦中消去 $6$ 个正交条件得到的。

$\bullet$ 考虑两个正交变换

$\begin{align*}x_i &= a_{ij}^{\prime}x_j^{\prime}\\x_k^{\prime} &= a_{ki}x_i \end{align*}\\$

将式一代入式二，得

$x_{k}^{\prime} = a_{ki}a_{ij}^{\prime}x_j^{\prime}\\$

由于坐标 $x_k^{\prime}$ 之间均是独立的，该等式若成立，则只有可能

（1）当 $j = k$ 时， $a_{ki}a_{ij}^{\prime} = 1$

（2）当 $j \neq k$ 时， $a_{ki}a_{ij}^{\prime} = 0$

所以

$a_{ki}a_{ij}^{\prime} = \delta_ {jk}\\$

或者写成矩阵形式

$\rm{A}\rm{A}^{-1} = I\\$

$\bullet$ 现在考虑双重求和

$a_{kl}a_{ki}a_{ij}^{\prime}\\$

不论是矩阵还是张量的形式，都满足结合律。

如果先结合前两者，有

$(a_{kl}a_{ki})a_{ij}^{\prime} = \delta_{li}a_{ij}^{\prime} = a_{lj}^{\prime}\\$

如果结合后两者，

$a_{kl}(a_{ki}a_{ij}^{\prime}) = a_{kl}\delta_{kj} = a_{jl}\\$

于是

$a_{jl} = a_{lj}^{\prime}\\$

一般，将 $a_{ij}$ 的下指标互换的操作对应求矩阵 $\rm{A}$ 的行与列相互对调。我们将其称为矩阵 $\rm{A}$ 的转置（transpose），表示为 $\rm{A}^{t}$ 。

所以对于正交矩阵，有

$\rm{A}^{t} = \rm{A}^{-1}\\$

$\bullet$ 对等式： $\rm{A}\rm{A}^{-1} = I$ 求行列式（determinant），有

$\begin{align*}|\rm{A}\rm{A}^{-1}| &= |I|\\|\rm{A}|^2 &= 1\end{align*}\\$ $\implies |A| = \pm 1\\$

可见，正交矩阵的行列式只能为正负一。

$\bullet$ 但实际上，对于刚体，所有代表着真实旋转的正交矩阵的行列式必须为 $+1$ ，这样的正交矩阵是常规的（proper）。相反，对于那些行列式为 $-1$ 的正交矩阵，对应的旋转则不具备任何实际物理意义，它们是反常的（improper）。只有刚体旋转对应的正交变换是一个常规矩阵，我们才可以写出系统的拉格朗日函数并得到运动方程。原因是任何对应了刚体真实运动的变换必须要从单位矩阵 $\rm{I}$ 开始进行连续变化，由于单位矩阵行列式为 $+1$ ，如果过程中行列式突然变为 $-1$ ，那么这样的变化将不再满足“连续”的特点，故无法代表刚体的真实位移。

更具体一点的解释，让我们考虑一个行列式为 $-1$ 的 $3 \times 3$ 矩阵

$\rm{S} = \begin{bmatrix} -1 & 0& 0\\0&-1&0\\0&0 &-1\end{bmatrix} = -\rm{I}$

该矩阵可以改变坐标轴或者矢量分量的方向。这样的变换将一个右手坐标系变为了左手坐标系，所以通常被称为坐标反演（inversion of coordinates）。

想要执行坐标系的反演变换并不难，其中一种方法就是先进行绕转轴（如 $z$ 轴） $\pi$ 弧度的旋转变换，然后再进行仅关于转轴的反射变换。

或者，用矩阵表示

$\rm{S} = \begin{bmatrix} -1 & 0& 0\\0&-1&0\\0&0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\0&1&0\\0&0 &-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0& 0\\0&-1&0\\0&0 &-1\end{bmatrix}$

如此一来，一个遵循右手定则的坐标系就变为了一个遵行左手定则的坐标系。

从反演变换的本质来看，因为涉及到了关于某个方向的反射，很明显，从右手参考系到左手参考系的变换是不可能通过任何方向上刚性变化达成的。所以，任何涉及到坐标反演的变换绝不可能用来表示一个刚体的真实位移。由于任何其它行列式等于 $-1$ 的矩阵均可被表示为矩阵 $\rm{S}$ 与一些行列式为 $+1$ 矩阵的乘积，所以任何行列式为 $-1$ 的矩阵亦无法表示刚体的真实位移。所以，与刚体真实运动所对应的变换矩阵的行列式只能等于 $+1$ 。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 欧拉角

$\bullet$ 最常用，也是最有用的一组用来描述刚体位置的方向坐标要属欧拉角（Eulerian angles），由数学家欧拉最早提出。

根据坐标变换的本质，从笛卡尔坐标系出发，进行三次特定连续的旋转变换后，我们可以得到另一个新坐标系。欧拉角则是被定义为这三次连续特定旋转的角度。

$\bullet$ 在有效范围内，三次连续旋转的角度大小和转轴的选取顺序其实存在一些随意性。初始旋转的转轴可以是三个笛卡尔坐标中的任意一个，但接下来两次旋转的转轴选取必须要保证三次旋转中不能出现连续的两次绕相同轴的旋转，这就是唯一的限制条件。所以，对于右手坐标系，我们一共有 $3 \times 2 \times 2 = 12$ 种不同顺序，即存在 $12$ 种可被用来定义欧拉角的顺规。大部分经典力学教材的作者采用的是第二次旋转绕 $x$ 轴的“ $x$ -顺规（x-convetion）”，而大多量子力学、核物理、粒子物理的教材使用的则是第二次旋转绕 $y$ 轴的“ $y$ -顺规（y-convention）”。此外，为了弥补前两种约定在变换前后的坐标系区分程度低的缺点，还有第三种常见约定： $xyz$ -顺规（xyz-convention），它在工程应用中经常出现，被经常用来描述如飞机和火箭等移动载具或导弹的方向。这三个角度分别是：关于竖直转轴旋转得到的偏航角（yaw angle），关于垂直于机体转轴旋转得到的姿态角（attitude angle）以及关于机身轴旋转得到的横摆角（roll angle）。根据 $xyz$ -顺规得到的角有时也被称为泰特-布莱恩角（Tait-Bryan angles）。

$\bullet$ 本篇将主要讨论 $x$ -顺规，以后可能会将后两者添加作为补充。

$x$ -顺规可分为下列三次连续旋转：

（1）按逆时针绕坐标系 $xyz$ 中的 $z$ 轴旋转角度 $\phi$ ，将得到的新坐标系命名为 $\xi \eta \zeta$ 。

（2）按逆时针绕坐标系 $\xi \eta \zeta$ 中的 $\xi$ 轴旋转角度 $\theta$ ，将得到的新坐标系命名为 $\xi^{\prime}\eta^{\prime}\zeta^{\prime}$ 。

（3）按逆时针绕坐标系 $\xi^{\prime}\eta^{\prime}\zeta^{\prime}$ 中的 $\zeta^{\prime}$ 轴旋转角度 $\psi$ ，将得到的新坐标系命名为 $x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}$ 。

根据定义，我们将独立角参量 $\phi \theta\psi$ 称为欧拉角。它们分别是：

自转角 $\phi$ （rotation angle），章动角 $\theta$ （nutation angle）和旋进角（进动角） $\psi$ （precession angle）。这些名称最早来源于天文学。

$\boldsymbol{\xi}^{\prime}$ 轴位于刚好位于图中 $xy$ 平面与 $\xi^{\prime} \eta^{\prime}$ 平面的夹角，被称为交点线（line of nodes）。

$\bullet$ 三次转动变换可以被表示为

$\boldsymbol{\xi} = \rm{Z}(\phi)\mathbf{x}\\$

$\boldsymbol{\xi}^{\prime} = N(\theta)\boldsymbol{\xi}\\$

$\mathbf{x}^{\prime} = \rm{Z}^{\prime}(\psi)\boldsymbol{\xi}^{\prime}\\$

其中 $\mathbf{x},\mathbf{x}^{\prime},\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\xi}^{\prime}$ 均为列矩阵， $\rm{Z}(\phi),N(\theta),\rm{Z}^{\prime}(\psi)$ 均为转动算符。

于是

$\mathbf{x}^{\prime} = \rm{Z}^{\prime}(\psi)N(\theta)\rm{Z}(\phi)\mathbf{x} = R(\phi,\theta,\psi)\mathbf{x}\\$

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \rm{Z}^{\prime}(\psi)N(\theta)\rm{Z}(\phi)\\$

或者用矩阵表示

$\boldsymbol{\xi} = \begin{bmatrix}\cos\phi & \sin\phi & 0\\-\sin\phi & \cos\phi & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\mathbf{x}\\$

$\boldsymbol{\xi}^{\prime} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0& -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\\$

$\mathbf{x}^{\prime} = \begin{bmatrix}\cos\psi & \sin\psi & 0\\-\sin\psi & \cos\psi& 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix}\cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\\-\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}\\$

$\bullet$ 从 $\mathbf{x}^{\prime}$ 到 $\mathbf{x}$ 的逆变换为

$\mathbf{x} = \rm{R}^{-1}\mathbf{x}^{\prime}\\$

由于矩阵 $\rm{R}$ 由三个正交矩阵组成，本身也是具有正交性

$\rm{R}^{-1} = \rm{R}^{t}\\$

所以

$\mathbf{x} = \rm{R}^{t}\mathbf{x}^{\prime}\\$

求矩阵 $\rm{R}$ 的转置即可。

刚体运动学（3）：欧拉角

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 行列式与坐标反演

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 欧拉角

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