第七节

矩阵A的秩： rank of A
主元的个数，（阶梯型矩阵不全为零的行数）

$\begin{bmatrix} 1 &2 &2 &2 \\ 0 &0 &2 &4 \\ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}\equiv U$

上述矩阵，第一三列称为主列，二四列称为 自由列
上述矩阵可以得到下列方程式
$\begin{matrix} x_1&+&2x_2 &+&2x_3 &+&2x_4 & = &0\\ &&&& 2x_3& +&4x_4&=&0 \end{matrix}$
则x₂和x₄，可以自由设值，然后反推回方程，得到x₁和x₃的值。（自由在这里）
设[x₂,x₄]分别为[1,0]和[0,1]，可以得到两个特解的线性组合，特解的数量，就是自由变量的数量
$x=c\begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ -2\\ 0 \end{bmatrix}$

则这个x就是A的解，可以形成零空间
满足：
$Ax=0,Ux=0$

矩阵的秩，r=2，就是主元有2个，自由变量 n-r=2 个

化简的行阶梯矩阵
主元为1，其上下都是0
$\begin{bmatrix} 1 &2 &0 &-2 \\ 0 &0 &1 &2 \\ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}\equiv R$

Matlab里面 rref就能得到rref 为首字母简化 reduced row echelon form of A

经过假设主元都在前（或者进行列置换）可以得到一个单位阵，和一个自由部分（F）：
$\begin{bmatrix} I&F \\ 0&0 \end{bmatrix}$
则可以得到一个零空间矩阵使得RN=0
$N=\begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}$
Matlab可以用null求出A的零空间矩阵，并不是上面这个。
即：Rx=0
$\begin{bmatrix} I &F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\x_{free} \end{bmatrix}=0\\ x_{pivot} =-Fx_{free}$