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一、定义
卷积，和加减乘除一样，是一种数学运算。下面给出它的定义：f，g的卷积记为(f*g)，其中：
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其中[a, b]为函数的定义域，连续情形下f(x), g(x)在定义域区间内是可积的。
二、示例：高利贷利息
假设賴某每月都向某机构贷款f(t)元，贷款的利息是按复利计算，月利率3%。计算N个月月底賴某需要付出的利息P(N)？
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将上面的示例抽象表示，借款好比输入，计算利息的方式可看作一个系统，利息的多少可看作输出。也就是输出等于输入与系统的卷积。设置不同的系统，就可以得到不同的输出。 卷积的应用很多，下面主要介绍在图像方面的应用。
三、图像卷积
图像可以看成一个三维矩阵，通过卷积的方式就可以得到图像中的特征信息。图像是输入，不同的卷积核(又称过滤器)可看作不同的系统，图像和卷积核经过卷积得到的结果就可看作图像中的特征信息。设置不同的卷积核，可以对图像进行不同的处理，也就是获得图像的不同的特征信息。下面首先以单通道的数字矩阵的卷积为例说明。
- 卷积核说明
卷积核一般又称为过滤器，卷积核就是一个数字矩阵，一般设置为奇数行奇数列。因为在计算机视觉里，如果有一个中心像素点会更方便，因此卷积核数字矩阵行列均为同一个奇数。在卷积神经网络中卷积核通常设置为11，33，55，77。此外，需要注意的是，在卷积神经网络中，卷积核一般不需要进行镜像旋转。
- 卷积操作
下面介绍单通道的数字矩阵的卷积是如何操作的：
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- Padding填充
从上例可以看出，一个NM的矩阵与一个FF的卷积核的卷积结果为(N-F+1)*(M-F+1)的矩阵。矩阵的行和列都减小了。这种卷积方式就是Valid卷积。在卷积神经网络中因为有多个卷积层，这样会导致图片越来越小，也就是会损失一些图像的信息，因此为了保证图片原来的维度，需要进行Padding，也就是填充。填充主要有4种形式：补零填充，边界复制填充，镜像填充，块填充。本文主要介绍常用的补零填充，就是在图片的数字矩阵的四周添加上值为0的网格。
- Valid卷积
示例中的就是Valid卷积，也就是Padding为0。
- Same卷积
经过Same卷积后，矩阵的行和列均不变，此时需要Padding，填充的行和列数均为F-1。其中F为卷积核矩阵的行和列数。也就是在图片数字矩阵的上、下均添加(F-1)/2行元素为0的网格，左、右均添加(F-1)/2列元素为0的网格。具体见下图：
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- Full卷积
Full卷积就是在数字矩阵的四周填充F-1行，F-1列的值为0的网格。卷积后得到的结果为N+F-1行，M+F-1列。具体参见下图：
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- Strided步长
步长就是上面的黄色部分每一次移动的步伐的长度。上面示例中显示的两种方式的卷积的步长s均为1，下面图示给出移动步长s为2，3的情况：
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根据上图可知，步长的不同也会最终影响卷积结果的维度。对于NM的矩阵，卷积核矩阵为FF，步长为s，填充Padding为P，那么卷积后得到的结果的行row、列column分别为：
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- 卷积结果中数字的处理
对于卷积结果中的特殊数字，例如小于0大于255的数字，以及[0, 255]区间内的小数，因为在卷积神经网络中，卷积层后面一般会跟着激活层，因此不用对这些数字特别处理。如果要把卷积结果进行显示的话，可以把这些数字变为unit8的形式。
四、不同卷积核的对比
正如前文提到的，不同的卷积核就相当于不同的图像特征提取器。至于为何这种形式的卷积核，就可以提取这种特征，本文不再多做说明。下文给出不同的卷积核得到的图像不同的特征的对比。也就是图像的三个通道的数字矩阵均用同一个卷积核进行same卷积，然后将各自通道的卷积结果合成的的图片进行对比。下面的示例图片是图像处理中最为经典的图片，图片中的人为Lena。
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