李雅普洛夫函数

昨天讲的马尔可夫链，是一个数字的均衡态。不管初始值如何，只要转换概率一定，系统会达到一种均衡。开心，不开心，极度不开心状态都会同时存在，并相对稳定。转换概率是均衡的衡量标准。和马尔可夫链一样，李雅普洛夫函数也是判断一个复杂系统的均衡态函数。它告诉我们，只要系统有一个演化方向，方向存在定值，它也能达到一种均衡态。

这个函数非常简单，系统中存在一个关键参数。这个参数为L,它满足两个条件。1. L 的取值，每一步都比前一步至少要减少一个固定的数值；2. L 存在一个最小值。如果你在系统中能找到这个参数，便可断定这个系统将能达到一个均衡态。L值相当于马尔可夫的转换概率，也是系统演化的方向。

举个栗子，有个老板，他买了各种不同款式的办公座椅，随机发给员工，然后让员工自由交换座椅。假定社会中存在一个幸福度数值L,每发生一次交换，双方的幸福度就会都增加一点，所以L值一直在增加，其次因为桌椅是有限的，幸福度必然有一个极大值。那么多次交换后，系统能达到一种均衡态。办公室对桌椅的总幸福度就是系统演化的方向。

再拿自由贸易来说，经济学家老鼓吹斯密的看不见的手，认为市场会达到一种均衡态，可问题是为什么现在各国都有很多反对自由贸易的声音呢？我们拿李雅普洛夫函数验证一下。也假设社会总幸福度数值L.每一次商品交换，的确是买卖双方都满意 —— 但是第三方可能会有人不满意。你俩的幸福度上升了，别人的幸福度却可能因为你俩这次交易而下降。社会总幸福度演化方向也一样，但它不存在一个极限值。伊拉克想用石油换巴基斯坦的原子弹技术。这两个国家的确是高兴了，可是国际社会可不干。邻国不希望伊拉克有原子弹，地区关系会变得紧张，别人不得不采取军备竞赛之类的行动，于是整个系统会不稳定。经济学家称由于存在负的外部性，系统不存在均衡态。

研究复杂系统，可能是当今社会最应该花精力的事。马尔可夫模型和李雅普洛夫函数提供了对现实解释的理论依据。