《计算分子进化》练习题探讨-第1章

作者: Cherrieg | 来源:发表于2021-03-10 09:40 被阅读0次

最近在学习杨子恒老师的《计算分子进化》，对于每一章后面的练习题，网上也未必找得到答案，故将自己的计算放到这里，如有同学共同探讨，则更加深进步。

由于我数学水平有限，所以很多题未必解出，这里只放解出的习题。

第1章核苷酸置换模型

1. 采用JC69模型下的转换概率（公式（1.3））来验证Chapman-Kolmogorov定理（公式（1.4））。考虑两种情形即可：（1）i=T，j=T；（2）i=T，j=C。例如：在（1）中，确定 $p_{TT}(t_{1}+t_{2})=p_{TT}(t_{1})p_{TT}(t_{2})+p_{TC}(t_{1})p_{CT}(t_{2})+p_{TA}(t_{1})p_{AT}(t_{2})+p_{TG}(t_{1})p_{GT}(t_{2})$ 。

解：公式（1.3）： $P(t)=e^{Qt}=\begin{pmatrix}p_{0}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t)\\p_{1}(t) & p_{0}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t) \\p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{0}(t) & p_{1}(t) \\p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{1}(t) & p_{0}(t)\end{pmatrix}$ ，其中 $p_{0}(t)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t}$ ， $p_{1}(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t}$ 。

第一种情形： $p_{TT}(t_{1}+t_{2})=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})}$ ，

$p_{TT}(t_{1})p_{TT}(t_{2})+p_{TC}(t_{1})p_{CT}(t_{2})+p_{TA}(t_{1})p_{AT}(t_{2})+p_{TG}(t_{1})p_{GT}(t_{2})$

$=(\frac{1}{4} +\frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4} +\frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{2}}) + 3(\frac{1}{4} -\frac{1}{4} e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4} -\frac{1}{4} e^{-4\lambda t_{2}})$

$=(\frac{1}{4} )^2+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{2}}+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} e^{-4\lambda t_{1}}+(\frac{3}{4} )^2 e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}+3[(\frac{1}{4} )^2-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{2}} -\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}} +(\frac{1}{4} )^2 e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}]$

$=\frac{1}{4} +\frac{3}{4} e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})}=p_{TT}(t_{1}+t_{2})$ 。

第二种情形： $p_{TC}(t_{1}+t_{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})}$ ，

$p_{TC}(t_{1})p_{CC}(t_{2})+p_{TA}(t_{1})p_{AC}(t_{2})+p_{TG}(t_{1})p_{GC}(t_{2})+p_{TT}(t_{1})p_{TC}(t_{2})$

$=(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{2}})+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{2}})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}})(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{2}})$

$=(\frac{1}{4} )^2+\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}}-(\frac{1}{4})^2e^{-4\lambda t_{2}}-\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}+(\frac{1}{4} )^2-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}e^{-4\lambda t_{1}}+\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{2}}-\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}+2[(\frac{1}{4} )^2-(\frac{1}{4} )^2e^{-4\lambda t_{1}}-(\frac{1}{4} )^2e^{-4\lambda t_{2}}+(\frac{1}{4} )^2e^{-4\lambda t_{1}-4\lambda t_{2}}]$

$=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda (t_{1}+t_{2})}=p_{TC}(t_{1}+t_{2})$ 。

故 $p_{ij}(t_{1}+t_{2})=\sum_{k}p_{ik}(t_{1})p_{kj}(t_{2})$ 得证。

2. 推导JC69模型下的转换概率矩阵 $P(t)=e^{Qt}$ 。采用1.2.3节的结果，设速率矩阵（公式（1.15））中基于TN93模型得到的特征值 $\pi_{T}= \pi_{C}=\pi_{A}=\pi_{G}=\frac{1}{4}$ ，以及基于JC69模型Q的特征向量 $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\beta$ 。另一种方案是可以从公式（1.1）直接推导特征值和特征向量，然后用公式（1.17）。

解：由1.2.3节的结果，

$P(t)=\begin{pmatrix}\pi_{T}+\frac{\pi_{T}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}+\frac{\pi_{C}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{C}+\frac{\pi_{C}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}-\frac{\pi_{C}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{A}(1-e_{2}) & \pi_{G}(1-e_{2}) \\ \pi_{T}+\frac{\pi_{T}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}-\frac{\pi_{T}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{C}+\frac{\pi_{C}\pi_{R}}{\pi_{Y}}e_{2}+\frac{\pi_{T}}{\pi_{Y}}e_{4} & \pi_{A}(1-e_{2}) & \pi_{G}(1-e_{2}) \\ \pi_{T}(1-e_{2}) & \pi_{C}(1-e_{2}) & \pi_{A}+\frac{\pi_{A}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}+\frac{\pi_{G}}{\pi_{R}}e_{3} & \pi_{G}+\frac{\pi_{G}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}-\frac{\pi_{G}}{\pi_{R}}e_{3} \\ \pi_{T}(1-e_{2}) & \pi_{C}(1-e_{2}) & \pi_{A}+\frac{\pi_{A}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}-\frac{\pi_{A}}{\pi_{R}}e_{3} & \pi_{G}+\frac{\pi_{G}\pi_{Y}}{\pi_{R}}e_{2}+\frac{\pi_{A}}{\pi_{R}}e_{3} \end{pmatrix}$

其中， $e_{2}=exp(\lambda_{2}t)=exp(-\beta t)$ ， $e_{3}=exp(\lambda_{3}t)=exp[-(\pi_{R}\alpha_{2}+\pi_{Y}\beta)t]$ ， $e_{4}=exp(\lambda_{4}t)=exp[-(\pi_{Y}\alpha_{1}+\pi_{R}\beta)t]$ 。

根据特征值 $\pi_{T}= \pi_{C}=\pi_{A}=\pi_{G}=\frac{1}{4}$ 化简P(t)，其中 $\pi_{Y}=\pi_{T}+\pi_{C}$ ， $\pi_{R}=\pi_{A}+\pi_{G}$ ，

$P(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{3} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{3} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e_{2} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}-\frac{1}{2}e_{3} & \frac{1}{4}+\frac{1}{4}e_{2}+\frac{1}{2}e_{3} \end{pmatrix}$

将 $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\beta$ 代入，得

$P(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-\beta t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-\beta t} \end{pmatrix}$

在JC69模型中，任意一个核苷酸i的总置换率为 $3\lambda$ ，记为 $-q_{ii}$ ， $-q_{ii}=\sum_{j\neq i} q_{ij}$ ，

即 $3\lambda = -q_{ii}=\sum_{j\neq i} q_{ij}=\pi_{C}\alpha_{1}+\beta \pi_{A}+\beta \pi_{G}=\frac{1}{4}\alpha_{1}+\frac{1}{4}\beta+\frac{1}{4}\beta=\frac{3}{4}\beta$ ，

解得 $\beta=4\lambda$ ，故

$P(t)=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} \\ \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-4\lambda t} & \frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{-4\lambda t} \end{pmatrix}$ 。

《计算分子进化》练习题探讨-第1章

第1章核苷酸置换模型

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

生物信息

《计算分子进化》练习题探讨-第1章

第1章 核苷酸置换模型

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

生物信息

第1章核苷酸置换模型