神经网络 第1部分: 建立架构
1.建模一个神经元
神经网络领域源自于渴望建立生物神经系统模型的目的，但是后来转变为使用在工程领域和在机器学习任务中取得好的效果。下面非常简单的介绍一下生物神经系统：
生物学动机
大脑最基本的计算单位叫做神经元（neuron），人类的神经系统中有大概有860亿各神经元，它们通过1014到1015个突触（synapse） 相互连接。每个神经元通过多个树突（dendrite）接收信号，然后通过一个轴突（axon）发送信号，轴突通过突触和其它神经元的树突相连。下面的图片简单描述了一个生物神经元。
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一个神经元通过多个树突接收信号并将这些信号进行处理计算，结果如果超过一定的阈值，则通过轴突将信号发送给下一个神经元。真正的生物神经元是非常复杂的，将其简化的数学模型如下：
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x_i代表上一个神经元发送过来的信号，w_i代表一个树突上的权值，s=\sum_iw_ix_i + b代表神经元对这些信号的处理计算，然后通过激活函数f(s)来判断结果s是否达到阈值并将信号发送到下一个神经元。
神经元和线性分类器
神经元的简化数学模型似曾相识，一个单独的神经元就像一个二元分类器（比如二元Softmax或者二元SVM）。
二元Softmax分类器：l(s)=-Py* \log\sigma(s)-(1-Py)*\log(1- \sigma(s))
二元SVM分类器：l(s)=max(0, 1-y*s)
正则化项：正则化项在生物学上的解释为逐渐遗忘，它会使参数更新时权值w逐渐减小。
常用的激活函数
激活函数使用固定的步骤处理一个标量数字，下面介绍几个实践中使用的激活函数：
Sigmoid
Sigmoid函数的形式为：\sigma(x) = 1 / (1 + e^{-x})，它将数值压缩到0到1之间。
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Sigmoid函数如上图所示，它的缺点为：
- Sigmoid函数在取值为0和1处趋近饱和，这些地方导数基本为0，使得在BP时梯度消失。
- Sigmoid函数的输出不是不是以0为中心的。（在下一篇中数据预处理中提到）
Tanh
Tanh函数可以由Sigmoid函数变换得到，形式为：\tanh(x) = 2 \sigma(2x) -1。
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Tanh函数也是饱和函数，但是它是以0为中心的。
ReLU
今年来最流行的激活函数，形式为f(x) = \max(0, x)。
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RuLU简单的将0作为阈值，但是有许多优点：
- 由于RuLU的线性和非饱和形式，求导为1不会放大缩小梯度，可以极大加速SGD的收敛。
- 相比Sigmoid和Tanh，RuLU计算非常简单。
RuLU也有一个缺点：
- 可能会使神经元“死亡”，因为它将所有负输出变为0。所以当学习率比较高时，会使梯度永远为0，这个问题可以用调整学习率来降低“死亡”的几率。
Leaky ReLU
Leaky ReLU是为了解决ReLU的神经元死亡问题，形式为：f(x) = \mathbb{1}(x < 0) (\alpha x) + \mathbb{1}(x>=0) (x)，a为很小的常数。但是它的改进效果尚不清楚。
小结：
推荐使用ReLU，恰当的设置学习率并监控神经元“死亡”的问题。不要使用Sigmoid或Tanh，就算使用性能也不会比ReLU好。
2.神经网络架构
分层组织
神经网络被建模成一组神经元组成的有向无环图，最常见的是全连接神经网络，如下图所示：
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二层全连接网络： 1个输入层，1个隐层，1个输出层。
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三层全连接网络： 1个输入层，2个隐层，1个输出层。
命名规定 神经网络的层数一般不包括输入层，计算规模不包括输入神经元。
输出层 输出层一般没有激活函数，它的输出代表类型评分（分类）或者一个实值（回归）。
神经网络规模 一般用神经元的个数（参数个数）来表示神经网络的规模。
上面两个图的规模分别为：
- 二层全连接网络 [4+2]=6个神经元，[3x4]+[4x2]=20个权值，4+2=6个偏差，26个可学习参数。
- 三层全连接网络 4+4+1=9个神经元，[3x4]+[4x4]+[4x1]=32个权值，4+4+1=9个偏差，41个可学习参数。
前馈计算实例
神经网络模型是重复的矩阵计算交织激活函数，使用ReLU的简单表示为s = W_2 \max(0, W_1 x)，采用这种结构的主要原因是结构简单并有利于计算。
拿上面的三层全连接网络来举例，它的输入层是一个[1x3]的向量x。两层之间的权值可以储存在一个矩阵中，例如第一隐层的权值W1为一个[3x4]的矩阵，偏差b1为一个[1x4]的向量，每一个神经元拥有W1中的一列作为自己的权值，所有神经元的偏差在[1x4]的向量b1中，所以整层输出为x.dot(W1)+b1。以此类推这个网络的正向代码如下所示：
f = lambda x: np.maximum(0,x) # 激活函数ReLU
x = np.random.randn(1, 3) # 随机输入 (1x3)
h1 = f(x.dot(W1) + b1) # 计算第一隐层的输出 (1x4)
h2 = f(h1.dot(W2) + b2) # 计算第二隐层的输出 (1x4)
out = h2.dot(W3) + b3 # 输出层 (1x1)
上述代码中W1,W2,W3,b1,b2,b3为网络中待学习的参数，x在实际应用中可以包括多行数据同时进行处理。需要注意输出层没有激活函数。
表达能力
一个很自然的问题是神经网络能够拟合哪些函数？1989年发表的Approximation by Superpositions of Sigmoidal Function证明了单隐层的神经网络可以逼近任何函数。
设置层数和层的规模
我们在面对实际问题时如何选择构建网络的层数和每层的规模？下图是一个二分类问题选择不同隐层层数的分类效果：
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从图中可以看出，越大的网络越能表示更复杂的细节，但是也越可能过拟合。尽管如此，在实践中还是最好用抑制过拟合的方法（如L2范数正则化，随机失活等）而不是减小网络规模来防止过拟合。
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上图\lambda为正则化项的系数，可以看出加大正则化项可以有效防止过拟合。
大网络比小网络好还有一个微妙的原因，神经网络是非凸的有很多局部最小值，大网络在随机初始化参数上拼运气的成份小一些。
总结
- 非常简化的介绍生物神经元
- 最常用的激活函数是ReLU
- 神经网络模型采用矩阵相乘和应用激活函数相交织的方式建立
- 神经网络能表达任何函数
- 大网络总是比小网络表现好
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